具有周期性并不意味着周期上的积分就一定等于零

一、题目

函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$

(A) 一定为正数

(B) 一定为负数

(C) 恒为零

(D) 不是常数

难度评级：

二、解析

错误的解法

由于 $y = \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t$ 的周期为 $\pi$, 因此，其在长度为 $x+\pi – x = \pi$ 长度区间上的积分一定等于零，即无论 $x$ 等于多少，都有：

$$
F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t = 0
$$

上面解法的错误在于不仅认为函数 $y = \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t$ 具有 $T = \pi$ 的周期，还认为其在周期内具有和三角函数在周期内相同的性质，即周期长度内的积分一定等于零。事实上，并不是所有周期函数都想三角函数一样位于 $X$ 轴上方的面积能够和位于 $X$ 轴下方的面积刚好抵消。

函数 $y = \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t$ 的图像示意图如图 01 所示：

正确的解法

本题虽然含有变限积分，但并不适合通过对变限积分求导的方式求解——事实上，对于上下限中均含有变量的变限积分，一般不优先考虑求导运算。

$$
F(x)=F(0)=\int_{0}^{\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t=
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \mathrm{~d} (\sin 2 t)=
$$

$$
\left.\frac{1}{2} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \sin 2 t\right|_{0} ^{\pi}-\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \sin 2 t \cdot \frac{2 \cos t(-\sin t)}{1+\cos ^{2} t} \mathrm{~d} t =
$$

$$
0 – \int_{0}^{\pi} \sin 2 t \cdot \frac{\cos t(-\sin t)}{1+\cos ^{2} t} \mathrm{~d} t =
$$

$$
\int_{0}^{\pi} \sin 2 t \cdot \frac{\cos t \sin t}{1+\cos ^{2} t} \mathrm{~d} t =
$$

$$
\int_{0}^{\pi} \frac{2 \sin ^{2} t \cos ^{2} t}{1+\cos ^{2} t} \mathrm{~d} t>0
$$

综上可知，A 选项正确。

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