包含无定义点的积分也可能是定积分

一、题目

已知 $n, m$ 为正整数，则关于 $I\_{n, m}=\int\_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$, 以下说法正确的是哪个？

(A) 是定积分且值为 $\frac{(-1)^{n} n !}{(n+1)^{m}}$

(B) 是定积分且值为 $\frac{(-1)^{m} m !}{(n+1)^{m+1}}$

(C) 是反常积分且发散

(D) 是反常积分且值为 $\frac{(-1)^{m} m !}{(n+1)^{m+1}}$

难度评级：

二、解析

虽然 $x^{n} \ln ^{m} x$ 在 $x = 0$ 处无定义，但是，由《无论 x 和 ln x 各自的几次方相乘，结果一定得零》可知：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} x^{n} \ln ^{m} x=0
$$

因此，我们可以补充定义 $f(0)=0$, 于是，$\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~ d} x$ 就成了一个定积分而不是反常积分（改变或者定义一个点的函数值不会改变整个区间上的定积分值）。

进而：

$$
\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\frac{1}{n+1} \int_{0}^{1} \ln ^{m} x \mathrm{~ d} \left(x^{n+1}\right)=
$$

$$
\left.\frac{1}{n+1} x^{n+1} \cdot \ln^{m} x\right|_{0} ^{1}-\frac{1}{n+1} \int_{0}^{1} x^{n+1} \cdot m \ln ^{n-1} x \cdot \frac{1}{x} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
-\frac{m}{n+1} \int_{0}^{1} x^{n} \cdot \ln ^{m-1} x \mathrm{~ d} x=
$$

$$
-\frac{m}{n+1} \cdot I_{n, m-1}=
$$

由规律可知：

$$
\left(-\frac{m}{n+1}\right) \cdot\left(-\frac{m-1}{n+1}\right) \cdot I_{n, m-2}=
$$

$$
\left(-\frac{m}{n+1}\right) \cdot\left(-\frac{m-1}{n+1}\right) \cdot\left(-\frac{m-2}{n+1}\right) \cdots\left(-\frac{1}{n+1}\right) \cdot I_{n, 0} =
$$

$$
(-1)^{m} \cdot \frac{m !}{(n+1)^{m}} \cdot I_{n, 0}
$$

又：

$$
I_{n, 0}=\int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~ d} x=\frac{1}{n+1}
$$

因此：

$$
I_{n, m}=(-1)^{m} \cdot \frac{m !}{(n+1)^{m+1}}
$$

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