只有线性无关的解才能组合形成齐次微分方程的通解

一、题目

已知 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解, $C_{1}, C_{2}$是两个任意常数, 则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是：

(A) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$
(B) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x)=0$
(C) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$
(D) $f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$

难度评级：

二、解析

只要 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 能使方程等于零，则无论在他们前面乘以什么数字，这一结论都是不变的。

但是，如果 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 是线性相关的，那么，$C f_{1} + C_{2} f_{2}$ 就不是方程的通解了——

也就是说，为了使 $C_{1} f_{1} + C_{2} f_{2}$ 是方程的通解，必须保证 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 线性无关，即：

$$
\textcolor{springgreen}{
f_{1} \neq C f_{2}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f_{1}}{f_{2}} \neq C \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\Big (\frac{f_{1}}{f_{2}} \Big)^{\prime} \neq 0 } \Rightarrow
$$

$$
\frac{ f_{1}^{\prime} f_{2} – f_{1} f_{2}^{\prime} }{f_{2}^{2}} \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
f_{1}^{\prime} f_{2} – f_{1} f_{2}^{\prime} \neq 0
$$

或者：

$$
f_{1} f_{2}^{\prime} – f_{1}^{\prime} f_{2} \neq 0
$$

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