不连续的函数可能有导数，但只有连续的函数才会一定有原函数

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}\right.$, $\quad g(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$, 则在区间 $(-1,1)$ 上

(A) $f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数
(B) $f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数
(C) $f(x)$ 不存在原函数, $g(x)$ 存在原函数
(D) $f(x)$ 存在原函数, $g(x)$ 不存在原函数

难度评级：

二、解析

由参考资料《如何判断一个函数是否存在原函数》可知，只有连续的函数才一定存在原函数（但并不是只有连续的函数才有导函数，当一个函数有有限个可去间断点的时候也是可导的）。

由于：

$$
\cos (0^{-}) = 1
$$

因此，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处有跳跃间断点。

但是：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} s \sin \frac{1}{x} = x \cdot \frac{1}{x} = 1
$$

因此，$g(x)$ 在 $(-1, 1)$ 区间上是连续的，于是可知，C 选项正确。

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