右端项为三角函数的二阶微分方程的特解你会求解吗？

一、题目

若 $A, B$ 为非零常数, $k$ 为常数, 则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式：

(A) $A \sin x+B \cos x$
(B) $A x \cos x$
(C) $A x \sin x$
(D) $A x \sin x+B x \cos x$

难度评级：

二、解析

解法一：常规求解法

求特征根：

$$
y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}+k^{2}=0 \Rightarrow \lambda=0 \pm i k^{2} \Rightarrow
$$

设非齐特的形式：

$$
Y^{*}=x^{k} e^{\alpha x}\left[W_{n}(x) \cos \beta x+Q_{n}(x) \sin \beta x\right] \Rightarrow
$$

$$
k=1, \alpha=0, \beta=1, W_{n}(x)=A, Q_{n}(x)=B \Rightarrow
$$

$$
Y^{*}=A x \cos x+B x \sin x
$$

求导：

$$
Y^{* \prime}=A \cos x-A x \sin x+B \sin x+B x \cos x
$$

$$
Y^{\prime \prime}=-A \sin x-A \sin x-A x \cos x+
$$

$$
B \cos x+B \cos x-B x \sin x \Rightarrow
$$

$$
Y^{* \prime \prime}=-2 A \sin x+2 B \cos x-A x \cos x-B x \sin x
$$

于是：

$$
Y^{* \prime \prime}+k^{2} Y^{*}=\cos x \Rightarrow
$$

$$
-(2 A+B x) \sin x+(2 B-A x) \cos x+
$$

$$
k^{2} A x \cos x+k^{2} B x \sin x=\cos x \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}k^{2} B x-(2 A+B x)=0 \\ k^{2} A x+(2 B-A x)=1\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}k^{2}=1 \\ A=0 \\ B=\frac{1}{2}\end{array} \Rightarrow\right.\right.
$$

$$
Y^{*}=\frac{1}{2} x \sin x
$$

由于 $A$ 和 $B$ 都是表示任意常数，因此，我们可以令 $A = \frac{1}{2}$, 于是：

$$
Y^{*} = A x \sin x
$$

综上可知，正确答案选 C.

解法二：结合选项进行推断

本题是一个选择题，因此，我们可以没必要像解法一一样按照解答题的做题方法求解本题的答案，而是可以结合选项进行推断。

由题可知，该方程的特解可以设为：

$$
Y^{*} = x^{k} e^{\alpha x} [A \cos \beta x + B \sin \beta x]
$$

且特征根 $\lambda = \alpha \pm i \beta$ $=$ $0 \pm ik$.

于是，当 $k = 1$ 的时候，特解为：

$$
Y^{*} = A x \cos x + B x \sin x
$$

于是，当 $k \neq 1$ 的时候，特解为：

$$
Y^{*} = A \cos x + B \sin x
$$

但是，如果 $k \neq 1$, 则将特解 $Y^{*} = A \cos x + B \sin x$ 代入 $Y^{* \prime \prime} + k^{2} Y^{*} = \cos x$ 可得：

$$
A = \frac{1}{k^{2} – 1} \neq 0, \ B = 0
$$

很显然，此时的特解应该是 $Y^{*} = A \cos x$, 但题目已经说 $A, B$ 均为非零常数，因此，A 选项就不可能正确。

注意：题目中说 $A$ 和 $B$ 均为非零常数的含义是，特解中如果含有 $A$, 则 $A$ 就不能等于零，特解中如果含有 $B$, 则 $B$ 就不能等于零。也就是说，如果 $A$ 或者 $B$ 没有体现在特解中，是可以等于零的。

如果 $k = 1$, 将 $Y^{*} = A x \cos x + B x \sin x$ 代入到 $Y^{* \prime \prime} + Y^{*} = \cos x$ 可得：

$$
A = 0, \ B = \frac{1}{2}
$$

此时的特解为 $Y^{*} = \frac{1}{2} x \sin x$, 与 C 选项相符，因此，C 选项正确。

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