判断变上限积分函数是否在某点处可导的三种方法示例

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{4+x}, & x>0 \\ 0, & x=0, \\ \sqrt{1-x}, & x<0\end{array}\right.$ $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$, 则以下结论正确的是哪个？

(A) $F(x)$ 在 $x=0$ 点不连续

(B) $F(x)$ 在 $x=0$ 点不可导

(C) $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导, $F^{\prime}(0)=f(0)$

(D) $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导, 但 $F^{\prime}(0) \neq f(0)$

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二、解析

方法一：写出函数 $F(x)$ 的表达式后再判断

当 $x>0$ 时：

$$
F(x)=\int_{0}^{x} \sqrt{4+t} \mathrm{~d} t=
$$

$$
\int_{0}^{x}(4+t)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} t=\left.\frac{2}{3}(4+t)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{x}=
$$

$$
\frac{2}{3}\left[(4+x)^{\frac{3}{2}}-8\right]
$$

当 $x=0$ 时：

$$
F(x)=\int_{0}^{0} 0 \mathrm{~d} t=0
$$

当 $x<0$ 时：

$$
F(x)=\int_{0}^{x} \sqrt{1-t} \mathrm{~d} t=\left.\frac{-2}{3}(1-t)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{x}=
$$

$$
\frac{-2}{3}\left[(1-t)^{\frac{3}{2}}-1\right]
$$

注意，当 $x < 0$ 的时候如下计算是错误的：

$$
F(x)=\int_{0}^{x} \sqrt{1-t} \mathrm{~d} t=
$$

$$
\xcancel{
\textcolor{orangered}{
\left.\frac{2}{3}(1-t)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{x}=\frac{2}{3}\left[(1-x)^{\frac{3}{2}}-1\right]
}
}
$$

于是：

$$
F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}\left[(4+x)^{\frac{3}{2}}-8\right], x \geqslant 0 \\ \frac{-2}{3}\left[(1-t)^{\frac{3}{2}}-1\right], x \leqslant 0\end{array}\right.
$$

因此可知，函数 $F(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

但是：

$$
F^{\prime}\left(0^{+}\right)=\left(\left.\frac{2}{3}\left[(4+x)^{\frac{3}{2}}-8\right)^{\prime}\right|_{x=0}=\right.
$$

$$
\left.(4+x)^{\frac{1}{2}}\right|_{x=0}=2
$$

$$
F^{\prime}\left(0^{-}\right)=\left.\frac{-2}{3}\left[(1-t)^{\frac{3}{2}}-1\right)\right|_{x=0}=
$$

$$
\left.(1-t)^{\frac{1}{2}}\right|_{x=0}=1
$$

即：

$$
F^{\prime}\left(0^{+}\right) \neq F^{\prime}\left(0^{-}\right)
$$

因此，函数 $F(x)$ 在 $x = 0$ 处不可导。

方法二：直接对变限积分求导

首先，改变积分有限个点处的函数取值并不影响积分整体的值，因此，我们可以将 $x > 0$ 的函数看作是 $x \geqslant 0$ 时的函数，将 $x < 0$ 时的函数看作 $x \leqslant 0$ 时的函数。

当 $x \geqslant 0$ 时：

$$
F(x)=\int_{0}^{x} \sqrt{4+t} \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}\left(0^{+}\right)=2
$$

当 $x \leqslant 0$ 时：

$$
x \leq 0 \Rightarrow F(x)=\int_{0}^{x} \sqrt{1-t} \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
F^{\prime}\left(0^{-}\right)=1
$$

于是：

$$
F^{\prime}\left(0^{+}\right) \neq F^{\prime}\left(0^{-}\right)
$$

因此，函数 $F(x)$ 在 $x = 0$ 处不可导。

方法三：跳跃间断点处不可导，跳跃间断点处的变限积分也不可导

$$
x \rightarrow 0^{+} \Rightarrow f\left(0^{+}\right)=2
$$

$$
x \rightarrow 0^{-} \Rightarrow f\left(0^{-}\right)=1
$$

于是可知，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处的间断点为跳跃间断点，在跨越 $x = 0$ 这点的去区间上进行积分所得到的函数 $F(x)$ 也会形成跳跃式增长，因此，函数 $F(x)$ 在 $x = 0$ 处不可导。

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