一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将对齐次函数做一个深入的讲解，同时还会提供一些齐次函数的具体例子，以帮助同学们更加深入地理解这一概念.
继续阅读“齐次函数详解与示例”分类： 考研数学
考研数学中常见的数字类别及符号表示
欧拉方程详解
泰勒公式 VS 拆项变形，哪种解法更简单？
一、题目
$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 2 – \left(\frac{1+\cos x}{2}\right)^{x} – \left[\frac{1+\ln(1+x)}{1+x}\right]^{x}}{x^{3}} = ?
$$
2026年考研数二第02题解析：非齐次线性微分方程的解
一、题目
设 $y_{1} \left( x \right)$, $y_{2} \left( x \right)$ 是某二阶非齐次线性微分方程的两个特解，若常数 $\lambda$, $\mu$ 使得 $2\lambda y_{1} \left( x \right) + \mu y_{2} \left( x \right)$ 是该方程的解，$\lambda y_{1} \left( x \right) – 2\mu y_{2} \left( x \right)$ 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）
»A« $\lambda = \frac{1}{5}$, $\mu = \frac{2}{5}$
»B« $\lambda = \frac{2}{5}$, $\mu = \frac{1}{5}$
»C« $\lambda = \frac{1}{4}$, $\mu = \frac{1}{2}$
»D« $\lambda = \frac{1}{2}$, $\mu = \frac{1}{4}$
初等变换是否会改变矩阵的幂零属性？
一、前言
如果一个矩阵是幂零矩阵，那么，无论经过怎么样的初等变换，这个矩阵都是幂零矩阵吗？
反过来说，如果一个矩阵不是幂零矩阵，那么，无论经过怎么样的初等变换，这个矩阵都不是幂零矩阵吗？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们深入解析这一问题.
继续阅读“初等变换是否会改变矩阵的幂零属性？”峰图 | 基于“动线交点”理论理解幂零矩阵的“塌缩”机制
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细介绍一下考研数学线性代数中的“幂零矩阵”.
同时，在本文中，「荒原之梦考研数学」还会通过“峰图（峰式图）”的方式证明为什么有些矩阵是（不是）幂零矩阵，同时以形象的方式展示幂零矩阵的“塌缩”机制.
继续阅读“峰图 | 基于“动线交点”理论理解幂零矩阵的“塌缩”机制”非线性微分方程会存在通解吗？
一、前言
对于考研数学经常考察的微分方程而言，无论是齐次还是非齐次的线性微分方程都存在通解，那么，非线性的微分方程存在通解吗？
在本文中，我们就来回答一下这个问题，让同学们对非线性微分方程的性质有一个更加深入的理解.
继续阅读“非线性微分方程会存在通解吗？”由于在通解的存在性这一问题上，常微分方程和偏微分方程具有同样的性质. 所以，本文中对非线性微分方程的讨论，主要以非线性常微分方程为例.
微分方程的通解和特解
峰图 | 如何理解线性微分方程的“叠加原理”？
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
微分方程所谓的“叠加原理”指的就是，如果 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是某个齐次线性微分方程的解，那么 $k_{1} y_{1}(x) + k_{2} y_{2}(x)$, 或者差 $k_{1} y_{1}(x) – k_{2} y_{2}(x)$ 也是该齐次线性微分方程的解，其中 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 为任意常数——
简单来说，狭义的“叠加原理”指的就是，齐次线性微分方程解的叠加仍然是其解.
当然，严格地说，对于两个解的差而言，符合的应该是“叠减原理”，而不是“叠加原理”，但在本文中，我们都将其称之为“叠加原理”.
此外，对于非齐次的线性微分方程，（广义的）叠加原理仍然有效，即：
- 如果 $y_{1}$, $y_{2}$ 都是非齐次方程 $L[y]=C$ 的解，则它们的差 $y_{1} – y_{2}$ 一定也是齐次方程 $L[y]=0$ 的解；他们的和 $y_{1} + y_{2}$ 一定也是非齐次方程 $L[y]=2C$ 的解；
- 如果 $y_{1}$, $y_{2}$ 都是非齐次方程 $L[y]=g(x)$ 的解，则它们的差 $y_{1} – y_{2}$ 一定也是齐次方程 $L[y]=0$ 的解；他们的和 $y_{1} + y_{2}$ 一定也是非齐次方程 $L[y]=2g(x)$ 的解.
如何理解微分方程的线性和非线性概念？
峰图 | 关于图形动态等价原理的解释
什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.
一、前言
在「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限》这篇文章中，我们知道，在二元函数一点处极限的定义中，无论去心邻域的形状是圆形，还是正方形，对应的定义都是等价的，并且通过极限的思想证明了为什么圆形和正方形的形状不同，但是却等价.
接着，在「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 二元函数去心邻域可以是哪些形状？不可以是哪些形状？》这篇文章中，我们基于《峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限》这篇文章中的结论，得出了所有能够做环绕极限点放缩的二维有界平面（可推广至三维有界曲面）在定义二元函数一点处极限的时候都是等价的这个更进一步的结论.
在这篇文章中，「荒原之梦考研数学」将通过对图形动态等价原理的阐释，给出有关不同形状的能够做环绕极限点放缩的二维有界平面（可推广至三维有界曲面，但在本文中仅基于二维有界平面做论述）在定义二元函数一点处极限的时候都是等价的这一结论的另一视角的证明.
继续阅读“峰图 | 关于图形动态等价原理的解释”通过常用的“基本正交矩阵”快速解题
一、题目
设 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E} – k \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\top}$（其中 $k \neq 0$）是正交矩阵，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $3$ 阶单位矩阵, $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $3$ 维单位列向量，则二次型 $x^{\top} \boldsymbol{A} x$ 的规范形为__.
继续阅读“通过常用的“基本正交矩阵”快速解题”可分离变量微分方程的两种形式：导数形式和微分形式
一、前言
对于可分离变量的微分方程，我们如下这种导数形式的表达式：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x)g(y)
$$
以及下面这种微分形式的表达式：
$$
f_{1}(x) g_{1}(y) \mathrm{~d} x + f_{2}(x) g_{2}(y) \mathrm{~d} y = 0
$$
事实上，上面这两种表达形式是完全等价的.
接下来，荒原之梦考研数学就通过代数运算，证明这二者的等价关系.
继续阅读“可分离变量微分方程的两种形式：导数形式和微分形式”微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程
一、前言
微分方程（Differential Equation, DEQ）分为常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）和偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）.
$$
\mathrm{ DEQ } \begin{cases}
\mathrm{ ODE } \\
\mathrm{ PDE }
\end{cases}
$$
如图 01 所示，如果对常微分方程和偏微分方程做进一步的细分，就可以发现，无论常微分方程还是偏微分方程，都有一阶、二阶、三阶……，以及线性和非线性之分，但是，只有线性的常微分方程和线性的偏微分方程才有齐次和非齐次之分，非线性的微分方程是没有齐次和非齐次之分的：
从形式上来看，ODE 和 PDE 的主要区别就是自变量的个数不同：ODE 只有一个自变量，PDE 则包含多个自变量.
由于对单变量函数的求导所得的导函数也被称为“常导数”，所以，只有一个自变量的微分方程就被称为常微分方程；类似地，由于对含有多个自变量的函数只能求偏导数，所以，含有多个自变量的微分方程就被称为偏微分方程.
在考研数学中，只考察仅包含一个自变量的常微分方程.
继续阅读“微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程”