分类： 考研数学

一、题目

⟨A⟩» $A_{n}$ $<$ $K + \frac{1}{n}$

⟨B⟩» $A_{n}$ $>$ $K – \frac{1}{n}$

⟨C⟩» $\left| A_{n} \right|$ $>$ $\frac{|K|}{2}$

⟨D⟩» $\left| A_{n} \right|$ $<$ $\frac{|K|}{2}$

难度评级：

二、解析

“无穷小”和“有限小”

无 穷 小 量不可数，例如，当 $x \rightarrow \infty$ 的时候，$\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x}$, $\frac{9999999}{x}$ 都是无穷小量，我们也可以将无穷小理解为“无限小”；

有 限 小 量可数，例如，无论是 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{100}$, 还是 $\frac{1}{9999999}$, 虽然在某些程度上都是很小的数字，但他们都是可数的，都是一个确定的量。

加上或者减去一个 无 穷 小 量不会对原有的数值产生影响：

$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \textcolor{pink}{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} } = 1 + \textcolor{pink}{ 0 } \textcolor{springgreen}{ = 1 }
$$

加上或者减去一个 有 限 小 量会对原有的数值产生影响：

$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \frac{1}{9999999} = \frac{9999999 + 1}{9999999} = \frac{10000000}{9999999} \textcolor{orangered}{\neq 1}
$$

有了上面的知识之后，求解本题就很容易了。

⟨A⟩ & ⟨B⟩

首先可以看到，无论是让 $K$ 加上 $\frac{1}{n}$ 还是减去 $\frac{1}{n}$, 当 $n$ 充分大时，也就是当 $n \rightarrow \infty$ 时，都有：

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
$$

也就是说，当 $n \rightarrow \infty$ 时：

$$
K + \frac{1}{n} = K – \frac{1}{n} = K
$$

又由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 可知：

$$
\begin{aligned}
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K + \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K – \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}}
\end{aligned}
$$

综上可知，C 选 项 正 确 。

⟨C⟩ & ⟨D⟩

虽然我们不知道 $K$ 是一个正数还是一个负数，但是，由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$$
\textcolor{orange}{
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| = |K| > 0 } \tag{1}
$$

且：

$$
\frac{|K|}{2} > 0
$$

由于当 $n$ 足够大时，也就是 $n \rightarrow \infty$ 时，上面的 $\textcolor{orange}{(1)}$ 式一定成立，并且 $\frac{|K|}{2}$ 是一个可数的数值，所以下式一定成立：

$$
|K| > \frac{|K|}{2}
$$

即：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| > \frac{|K|}{2}
$$

综上可知，C 选 项 正 确 。

---

一、前言

在解决含有无穷小量问题的时候，我们常常需要面对的问题就是：

什么时候该将无穷小量考虑进运算结果中？什么时候又该将无穷小量舍去？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助“小泡泡转为大泡泡”的现象，为同学们讲明白，如何通过让大的无穷小更大，让小的无穷小更小的“分化融合”方法，来明确无穷小量在具体计算过程中的取舍。

继续阅读“解决无穷小量取舍问题的一个思路：让小泡泡汇聚成大泡泡”

一、前言

对函数的自变量加上、减去、乘以、除以一个数字可以对函数图像产生影响，在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示和口诀的方式让同学们能够直观地理解这种影响，进而在学习和解题的过程中加以应用。

继续阅读“加减乘除运算对函数图象形状的影响”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解考研高等数学以及概率论和数理统计课程中常用的伽马函数。

继续阅读“伽马函数（欧拉第二积分/Gamma Function）详解”