一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$, $\boldsymbol{A^{*}}$ 均为三阶非零矩阵, 且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$
难度评级：
继续阅读“又一道判断矩阵秩的题目，不过这次伴随矩阵来了，情况变得有点复杂……”分类： 线性代数
两个矩阵相乘等于零矩阵的时候，这两个矩阵的秩有什么关系？
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是四阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 那么：
若 $r(\boldsymbol{A})=1$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;
若 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;
若 $r(\boldsymbol{A})=3$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$;
若 $r(\boldsymbol{A})=4$, 则 $r(\boldsymbol{B})=?$.
难度评级：
继续阅读“两个矩阵相乘等于零矩阵的时候，这两个矩阵的秩有什么关系？”这道题是在考“秩”吗？不！考的是矩阵的子式
一、题目
已知 $a$ 是任意常数, 下列矩阵中秩有可能不等于 3 的是哪一个矩阵？
(A) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a-1\end{array}\right]$
(B) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & a+1\end{array}\right]$
(C) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & a+1\end{array}\right]$
(D) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a+1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 a+2\end{array}\right]$
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继续阅读“这道题是在考“秩”吗？不！考的是矩阵的子式”根据矩阵秩的定义，可以推导出哪些结论？
“秩”小于“阶”，则行列式的值等于零
一、题目
若 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & a & 10\end{array}\right]$, 且秩 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $a=?$
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继续阅读““秩”小于“阶”，则行列式的值等于零”乘以一个常数对逆矩阵的影响是什么？
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 为三阶可逆矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第一行乘以 $-2$ 得到矩阵 $\mathbf{B}$, 则能得出什么结论？
难度评级：
继续阅读“乘以一个常数对逆矩阵的影响是什么？”你会进行矩阵的“逆初等变换”吗？
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的 $1$, $2$ 两行互换得到矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再将 $\boldsymbol{B}$ 第三列的 $-2$ 倍加到第一列得到单位矩阵, 则 $\boldsymbol{A}=?$
难度评级：
继续阅读“你会进行矩阵的“逆初等变换”吗？”这个 plus 版“左行右列”类问题你还会做吗？
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+2 a_{11} & a_{32}+2 a_{12} & a_{33}+2 a_{13}
\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1
\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{3}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]$, 则 如何使用 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{P_{1}}$, $\boldsymbol{P_{2}}$ 或 $\boldsymbol{P_{3}}$ 表示 $\boldsymbol{B}$ $?$
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继续阅读“这个 plus 版“左行右列”类问题你还会做吗？”“左行右列”原则怎么用？看这道题就行了
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则 $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{1}=?$
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继续阅读““左行右列”原则怎么用？看这道题就行了”识别什么是初等矩阵
一、题目
以下哪个是初等矩阵：
$$
\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$
难度评级：
继续阅读“识别什么是初等矩阵”通过一道题记住什么是行最简矩阵
一、题目
下面哪个矩阵是行最简矩阵：
$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]
$$
$$
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
$$
考研线性代数：行列式部分初级专项练习题（2024 年）
题目 06
已知 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 为三阶矩阵, 且 $|\boldsymbol{A}|=3$, 则 $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+2 \boldsymbol{\alpha}_{1}\right|=?$
解析 06
$$
\left(\alpha_{1}+2 \alpha_{2}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, \alpha_{3}+2 \alpha_{1}\right)=
$$
$$
\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1\end{array}\right) \Rightarrow
$$
$$
\left|\alpha_{1}+2 \alpha_{2}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, \alpha_{3}+2 \alpha_{1}\right|=
$$
$$
|A| \cdot \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1\end{array}\right|=
$$
$$
3(1+0-12-0-0-0) =
$$
$$
3 \times(-11)=-33.
$$
或者：
$$
\left|\alpha_{1}+2 \alpha_{2}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, \alpha_{3}+2 \alpha_{1}\right| =
$$
$$
\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, \alpha_{3}+2 \alpha_{1}\right|+
$$
$$
\left|2 \alpha_{2}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, \alpha_{3}+2 \alpha_{1}\right|=
$$
Tips:
通过初等行变换，可以将 $\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, \alpha_{3}+2 \alpha_{1}\right|$ 化简为 $\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, \alpha_{3}\right|$——
或者也可以将 $\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, \alpha_{3}+2 \alpha_{1}\right|$ 拆分成 $\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, \alpha_{3}\right|$ 和 $\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, 2 \alpha_{1}\right|$——
由于 $\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, 2 \alpha_{1}\right|$ 中的 $\alpha_{1}$ 和 $2 \alpha_{1}$ 成比例，因此 $\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, 2 \alpha_{1}\right|$ $=$ $0$.
$$
\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}-3 \alpha_{3}, \alpha_{3}\right|+
$$
$$
\left|\alpha_{2},-3 \alpha_{3}, 2 \alpha_{1}\right| =
$$
$$
\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right|-2 \times 3\left|\alpha_{2}, \alpha_{3}, 2 \alpha_{1}\right| =
$$
$$
\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right|-12\left|\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{1}\right| =
$$
Tips:
将 $\left|\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{1}\right|$ 中的 $\alpha_{2}$ 和 $\alpha_{1}$ 交换位置需要移动两次。
$$
\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right|-12 \times(-1)^{2}\left|\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right| =
$$
$$
3-12 \times 3=(1-12) \times 3=-33.
$$
为什么当矩阵各行元素之和都等于同一个数时，这个数就是一定是特征值之一？
线性相关的向量组内各个向量不一定都能互相线性表出（线性表示）
你能用一个初等矩阵表示一个初等行变换的过程吗？
一、题目
设 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 2\end{array}\right]$ 经初等行变换化成阶梯形矩阵 $\boldsymbol{B}$ $=$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -1\end{array}\right]$, 初等变换 过程如下:
$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 1 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right]$ $\rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right]$ $\rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
0 & 6 & -3
\end{array}\right]$ $\rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
0 & 2 & -1
\end{array}\right]$ $=$ $\boldsymbol{B}$.
因此，若有可逆阵 $P$, 使得 $P A=B$, 其中 $P=?$
难度评级：
继续阅读“你能用一个初等矩阵表示一个初等行变换的过程吗？”