这个 plus 版“左行右列”类问题你还会做吗？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+2 a_{11} & a_{32}+2 a_{12} & a_{33}+2 a_{13}
\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1
\end{array}\right]$, $\boldsymbol{P}_{3}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]$, 则 如何使用 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{P_{1}}$, $\boldsymbol{P_{2}}$ 或 $\boldsymbol{P_{3}}$ 表示 $\boldsymbol{B}$ $?$

难度评级：

二、解析

观察可知，$B$ 的列标与 $A$ 的列标在相对位置上并没有变化，因此可以判定 由 $A$ 转换到 $B$ 的过程中并没有进行列变换，只进行了行变换。

于是：

把 $A$ 的第一行与第二行交换位置：

$$
P_{3} A
$$

把 $P_{3} A$ 的第二行的 $2$ 倍加到第三行：

$$
P_{2} P_{3} A
$$

或者：

把 $A$ 的第一行的 $2$ 倍加到第三行：

$$
P_{1} A
$$

把 $P_{1} A$ 的第一行和第二行交换位置：

$$
P_{3} P_{1} A
$$

综上可知：

$$
B = P_{2} P_{3} A
$$

或者：

$$
B = P_{3} P_{1} A
$$

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