分类： 高等数学

一、题目

下列命题正确的是哪个？

(A) 设在 $x=x_{0}$ 空心邻域 $\alpha(x)$ 为有界函数，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

(B) 设 $x \rightarrow x_{0}$ 时 $\alpha(x)$ 为无穷小，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=a \neq 0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=\infty$.

(C) 设 $x \rightarrow x_{0}$ 时 $\alpha(x)$ 为无穷大，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=a$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

(D) 设在 $x=x_{0}$ 空心邻域 $\alpha(x)$ 为无界函数，且 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x) \beta(x)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$.

难度评级：

继续阅读“有界函数乘以零得零：但反过来并不成立”

一、题目

下列命题正确的是哪个？

(A) 若 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，则必存在 $\delta>0$, 当 $x \in \mathring{U}_{\delta}\left(x_{0}\right)$ 时，$f(x)$ 必存在.

(B) 若 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处连续，则必存在 $\delta>0$, 当 $x \in \mathring{U}_{\delta}\left(x_{0}\right)$ 时, $f(x)$ 亦连续.

(C) 若 $x=x_{0}$ 为 $f(x)$ 的间断点，则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 必不存在.

(D) 若 $f\left(x_{0}\right)$ 不存在，则 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 必不存在.

难度评级：

继续阅读“神奇的迪利克雷函数和一个违反直觉的高等数学结论”

一、题目

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$, $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B$, 则下列命题不正确的是哪个？

(A) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]=A+B$.

(B) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]=A-B$.

(C) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \cdot g(x)]=A B$.

(D) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$.

难度评级：

继续阅读“无论是极限是还是等式值，只要是【零】就不能做分母”

一、题目

$$
I=\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}(x+1)}=?
$$

难度评级：

继续阅读“当被积函数分母的次幂过高时要先降幂再尝试积分”

一、题目

$f(x)=\frac{1}{1+\sin ^{2} x}$, $x \in[0, \pi]$, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的全体原函数是（）

难度评级：

继续阅读“三角函数积分思路：sin 与 cos 都可以统一到 tan”

一、题目

已知，当 $x>-2$ 时 $f(x)$ 连续，且满足 $2 f(x)\left[\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\frac{1}{\sqrt{2}}\right]=\frac{(x+1) \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}}$, 则当 $x>-2$ 时, $f(x)=?$

难度评级：

继续阅读“遇到变限积分就想着怎么求导吗？一般是这样的，但也可以试试积分哦”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\int_{1}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$, 则 $\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=?$

难度评级：

继续阅读“根号下的 x 有一个重要性质，一定要记住！”

一、题目

已知 $|y|<1$, 则 $K(y)$ $=$ $\int_{-1}^{1} | x-y | +\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x = ?$

难度评级：

继续阅读“当被积函数含有绝对值时一般先考虑用分段的方法去绝对值——此外，在凑微分时一般把 $e^{x}$ 凑到 $d$ 中，因为凑微分的核心就是【使积分变得更简单】”

一、题目

已知，当 $0 \leqslant x \leqslant \pi$ 时 $f(x)=x$, 且对一切 $x$ 都有 $f(x)=f(x-\pi)+\sin x$, 则 $I = \int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x=?$

难度评级：

继续阅读“当函数 f 的括号中标明的自变量不是单独的一个字母时一般都可以用变量代换，且这样的函数通常都具有某种周期性”

一、题目

$$
I = \int_{3}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)^{4} \sqrt{x^{2}-2 x}} = ?
$$

难度评级：

继续阅读“这道题看似不能用三角函数代换，但其实题目中已经给我们提示了：把未知变已知，把不同变相同”

一、题目

$$
I=\int_{0}^{1} x \ln (1+x) \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“当分母的次幂大于分子的次幂时一定要通过拆分的方式给分母降幂：只有这样才能继续积分”

一、题目

$$
I=\int_{-1}^{1} x \arcsin x \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“带有三角函数的积分一般可以尝试配方法，但一般不要将三角函数放到微分符号 d 中”

一、题目

$$
I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}} = ?
$$

其中 $a<x<b$.

难度评级：

继续阅读“这道不定积分题有三个不同的答案：但每个答案都是对的”

一、题目

已知 $f(x), \varphi(x)$ 均为连续函数, $a \neq 0$ 且为常数, $\int_{0}^{a} f[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x$ $=$ $A$, 则 $I$ $=$ $\int_{0}^{a} x[f[\varphi(x)]+f[\varphi(a-x)]] \mathrm{~ d} x=?$

难度评级：

继续阅读“解决数学问题的常用思路：把未知转化为已知”

一、题目

已知 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，且 $\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=A$, 则 $\int_{0}^{2 T} f(3 x+T) \mathrm{d} x=?$

难度评级：

继续阅读“定积分换元的时候一定不要忘记修改积分上下限”