二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ $=$ $a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 经正交变换化为标准形 $3 y_{1}^{2}-y_{3}^{2}$, 则 $a=?$
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继续阅读“错题示例：求解一个矩阵的特征值时不能先对这个矩阵进行化简后再套入公式：但套入公式之后可以化简”已知 $a>0$, 则 $I=\int_{-a}^{a}$ $\sqrt{a^{2}-x^{2}} \ln \frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{3} \mathrm{~d} x$ $=?$
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继续阅读“这道题目中含有一个奇函数，你能找到吗？”$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x) \cos x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“带有三角函数的积分不容易计算怎么办？尝试把三角函数放到微分符号 d 里面，这样就可以用整体代换法去掉三角函数了”在不定积分 $I=\int \frac{x^{2}+a x+b}{(x+1)^{2}\left(x^{2}+1\right)} \mathrm{d} x$ 中不含对数函数，则 $b=?$
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继续阅读“使用待定系数法解出来的不定积分一般都会产生对数，但你知道什么时候对数会消失吗？”对于任意 $x$, 存在 $\theta \in(0,1)$, 使得 $\mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{\theta x}$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \theta=?$
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继续阅读“变量 x 的取值任意？那还怎么用等价无穷小？”已知 $f(x)=\int_{0}^{1} \ln \sqrt{x^{2}+t^{2}} \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 点处连续吗？可导吗？
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继续阅读“你能找出来这个隐藏在定积分下的函数吗？”已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？
首先验证偏导数是否存在：
$$
f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ y=0}} \frac{f(\Delta x, 0)-0}{\Delta x}=\frac{0-0}{(\Delta x)^{2}}=0
$$
$$
f_{y}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{\substack{\Delta y \rightarrow 0 \\ x=0}} \frac{f(0, \Delta y)-0}{\Delta y}=\frac{0-0}{(\Delta y)^{2}} = 0
$$
Tips:
为了简便起见，在求解出 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 可由变量 $x$ 与 $y$ 的对称性直接得出 $f_{y}^{\prime}(0,0) = f_{x}^{\prime}(0,0)$ 的结论。
接着验证是否可微：
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{f(\Delta x, \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \Rightarrow
$$
若令 $\Delta y=\Delta x$, 则：
$$
\frac{(\Delta x)^{2}}{2(\Delta x)^{2}}=\frac{1}{2} \neq 0
$$
上面的计算步骤只是一个特例，事实上：
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}} \Rightarrow
$$
$$
\Delta y = k \Delta x \Rightarrow
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{\Delta x \cdot k \Delta x}{(\Delta x)^{2}+(k \Delta x)^{2}} \Rightarrow
$$
$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0}} \frac{k (\Delta x)^{2}}{(1+k^{2}) (\Delta x)^{2}} = \frac{k}{1 + k^{2}} \ neq 0
$$
综上可知，$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微。
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
如果二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的偏导数 $f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0})$ 以及 $f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0})$ 都存在，且下面这个式子的极限值为零，则表明该该二元函数在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处可微：
$$
\textcolor{orange}{
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{[f(x_{0} + \Delta x, y_{0} + \Delta y) – f(x_{0}, y_{0})] – [f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0}) \Delta x + f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0}) \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}}
}
$$
但是，上面这个式子你能记住吗？
其实，你已经记住上面这个式子了，不信就继续看下文吧。
继续阅读“判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！”$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0.0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) = ?
$$
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继续阅读“二元函数求极限的时候也可以利用整体换元代换”二元函数 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？
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继续阅读“什么时候二元函数的极限不存在：沿不同直线或者曲线极限值不相等时”二元函数 $f(x, y)=\begin{cases}
& \frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\
& 0, & (x, y)=(0,0)
\end{cases}$, 在点 $(0,0)$ 处是否连续？$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是否存在？
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继续阅读“怎么证明二元函数的极限存在：用放缩法”已知函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x)=\cos 2 x-4 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 则 $f(x)=?$
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继续阅读“这道题没说函数可导，所以就不能求导了嘛？”初值问题 $\left\{\begin{array}{l}1+\left(y^{\prime}\right)^{2}=2 y y^{\prime \prime}, \\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=-1\end{array}\right.$ 的特解是（）
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继续阅读“一层一层剥洋葱：从可降阶微分方程到变量可分离的微分方程再到另一个变量可分离的微分方程”已知 $f(x)$ 具有一阶连续导数, $f(0)=0, \mathrm{~d} u(x, y)$ $=$ $f(x) y \mathrm{~d} x+[\sin x-f(x)] \mathrm{~d} y$, 则 $f(x)$ 等于（）
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继续阅读“你知道怎么求解这个隐藏在偏微分方程后面的一阶线性微分方程吗”下面哪些是线性微分方程：
(1) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(\sin x) y+\mathrm{e}^{x}$
(2) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x \sin y+\mathrm{e}^{x}$
(3) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\sin x+\mathrm{e}^{y}$
(4) $x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\cos y+1$
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继续阅读“怎么判断微分方程是线性的？这里有三个判断条件和一道典型例题”