当函数 f 的括号中标明的自变量不是单独的一个字母时一般都可以用变量代换，且这样的函数通常都具有某种周期性

一、题目

已知，当 $0 \leqslant x \leqslant \pi$ 时 $f(x)=x$, 且对一切 $x$ 都有 $f(x)=f(x-\pi)+\sin x$, 则 $I = \int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{d} x=?$

难度评级：

二、解析

解法一：将积分的取值区间一步步移动到已知区间上

由题可知：

$$
I=\int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{\pi}^{3 \pi}[f(x-\pi)+\sin x] \mathrm{~ d} x=
$$

令：

$$
t=x-\pi \Rightarrow x=t+\pi \Rightarrow \mathrm{~ d} x=\mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
t \in(0,2 \pi) .
$$

则：

$$
I=\int_{0}^{2 \pi}[f(t)+\sin (t+\pi)] \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{0}^{2 \pi} f(t) \mathrm{~ d} t+\int_{0}^{2 \pi} \sin (t+\pi) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
\sin (t+\pi) \text { 的周期为 } 2 \pi \Rightarrow \int_{0}^{2 \pi} \sin (t+\pi) \mathrm{~ d} t=0
$$

于是：

$$
I=\int_{0}^{2 \pi} f(t) \mathrm{~ d} t+0=\int_{0}^{2 \pi} f(t) \mathrm{~ d} t
$$

即：

$$
\int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x=\int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x
$$

因此：

$$
I = \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{~ d} x+\int_{\pi}^{2 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{~ d} x+\int_{\pi}^{2 \pi}[f(x-\pi)+\sin x] \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\pi} x \mathrm{~ d} x+\int_{\pi}^{2 \pi} f(x-\pi) \mathrm{~ d} x+\int_{\pi}^{2 \pi} \sin x \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\frac{1}{2} \pi^{2}+\int_{\pi}^{2 \pi} f(x-\pi) d(x-\pi)-2=
$$

$$
\frac{1}{2} \pi^{2}+\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{~ d} x-2=\pi^{2}-2
$$

解法二：题目所给的式子其实是一个分段函数

当：

$$
x \in(\pi, 2 \pi) \Rightarrow(x-\pi) \in(0, \pi)
$$

有：

$$
f(x)=f(x-\pi)+\sin x \Rightarrow
$$

$$
f(x)=x-\pi+\sin x
$$

当：

$$
x \in(2 \pi, 3 \pi) \Rightarrow(x-\pi) \in(\pi, 2 \pi)
$$

$$
(x-2 \pi) \in(0, \pi) \Rightarrow f(x-2 \pi)=x-2 \pi
$$

有：

$$
f(x-\pi)=f(x-2 \pi)+\sin (x-\pi) \Rightarrow
$$

$$
f(x-\pi)=f(x-2 \pi)-\sin x \Rightarrow
$$

$$
f(x)=f(x-\pi)+\sin x \Rightarrow
$$

$$
f(x)=x-2 \pi-\sin x+\sin x=x-2 \pi
$$

于是：

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-\pi+\sin x, & \mathrm{~ d} x \in(0,2 \pi) \\ x-2 \pi, & \mathrm{~ d} x \in(2 \pi, 3 \pi) .\end{array}\right.
$$

因此：

$$
\int_{\pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x=\int_{\pi}^{2 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x+\int_{2 \pi}^{3 \pi} f(x) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{\pi}^{2 \pi}(x-\pi+\sin x) \mathrm{~ d} x+\int_{2 \pi}^{3 \pi}(x-2 \pi) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\frac{1}{2} \cdot 4 \pi^{2}-\frac{1}{2} \pi^{2}-\pi(2 \pi-\pi)-2+
$$

$$
\frac{1}{2} \cdot 9 \pi^{2}-\frac{1}{2} \cdot 4 \pi^{2}-2 \pi(3 \pi-2 \pi)=
$$

$$
\frac{-1}{2} \pi^{2}-\pi^{2}-2+\frac{9}{2} \pi^{2}-2 \pi^{2} =
$$

$$
4 \pi^{2}-3 \pi^{2}-2=\pi^{2}-2.
$$

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