遇到变限积分就想着怎么求导吗？一般是这样的，但也可以试试积分哦

一、题目

已知，当 $x>-2$ 时 $f(x)$ 连续，且满足 $2 f(x)\left[\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\frac{1}{\sqrt{2}}\right]=\frac{(x+1) \mathrm{e}^{x}}{(x+2)^{2}}$, 则当 $x>-2$ 时, $f(x)=?$

难度评级：

二、解析

Tips:

在含有变限积分的题目中，我们一般可以尝试通过求导的方式解题，但是，对本题而言，求导运算显然很复杂，因此，我们可以尝试从另一个角度解本题，那就是“积分”。

当然，本题直接进行积分运算，写起来也比较复杂，因此，我们可以通过代换的方式，直接令 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t+\frac{1}{\sqrt{2}}$——这种代换的方式可以很显著的快速降低式子的复杂程度，方便我们接下来的计算。

令：

$$
F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t+\frac{1}{\sqrt{2}}
$$

于是：

$$
F^{\prime}(x)=f(x)
$$

进而：

$$
2 f(x) \cdot F(x)=\frac{(x+1) e^{x}}{(x+2)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
2 F^{\prime}(x) F(x)=\frac{(x+1) e^{x}}{(x+2)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
2 \int F(x) \mathrm{~d} [F(x)]=\int \frac{(x+1) e^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
F^{2}(x)=\int \frac{(x+1) e^{x}}{(x+2)^{2}} \mathrm{~ d} x
$$

又：

$$
\left[\frac{1}{(x+2)}\right]_{x}^{\prime}=\frac{-1}{(x+2)^{2}}
$$

于是：

$$
F^{2}(x)=-\int(x+1) e^{x} \mathrm{~d} \left(\frac{1}{x+2}\right) \Rightarrow
$$

$$
F^{2}(x)=-\left[\frac{(x+1) e^{x}}{x+2}-\int \frac{(x+2) e^{x}}{x+2} \mathrm{~ d} x\right] \Rightarrow
$$

$$
F^{2}(x)=e^{x}-\frac{(x+1) e^{x}}{(x+2)} + C \Rightarrow
$$

$$
F^{2}(x)=\frac{[(x+2)-(x+1)] e^{x}}{(x+2)}+ C \Rightarrow
$$

$$
F^{2}(x)=\frac{e^{x}}{x+2}+C
$$

又：

$$
x=0 \Rightarrow F(0) = \int_{0}^{0} f(t) \mathrm{~ d} t+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow
$$

$$
F^{2}(0)=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Rightarrow C=0
$$

因此：

$$
F^{2}(x)=\frac{e^{x}}{x+2} \Rightarrow F(x)= \pm \sqrt{\frac{e^{x}}{x+2}}
$$

又：

$$
F(0)=\frac{1}{2} > 0 \Rightarrow F(x) \neq-\sqrt{\frac{e^{x}}{x+2}} \Rightarrow
$$

$$
F(x)=\sqrt{\frac{e^{x}}{x+2}}
$$

综上：

$$
2 f(x)\sqrt{\frac{e^{x}}{x+2}}=\frac{(x+1) e^{x}}{(x+2)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
2 f(x)=\frac{(x+1) e^{x}}{(x+2)^{2}} \cdot \sqrt{\frac{x+2}{e^{x}}} \Rightarrow
$$

$$
f(x)=\frac{1}{2} \frac{(x+1) e^{x}}{(x+2)^{2}} \cdot \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{e^{x}}}=\frac{(x+1) e^{\frac{x}{2}}}{2(x+2)^{\frac{3}{2}}}
$$

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