当分母的次幂大于分子的次幂时一定要通过拆分的方式给分母降幂：只有这样才能继续积分

一、题目

$$
I=\int_{0}^{1} x \ln (1+x) \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

$$
I=\int_{0}^{1} x \ln (1+x) \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \ln (1+x) \mathrm{~d} \left(x^{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{2}\left[\left.x^{2} \ln (1+x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x} \mathrm{~d} x\right] \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{2} \ln 2-\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{1+x} \mathrm{~d} x.
$$

又：

$$
(A x+B)(x+1)=x^{2} \Rightarrow A=1, B=-1 \Rightarrow
$$

$$
(x+1)(x-1)+1=x^{2}
$$

于是：

$$
I=\frac{1}{2} \ln 2-\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{(x+1)(x-1)+1}{x+1} \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{2} \ln 2-\frac{1}{2} \int_{0}^{1}(x-1) \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{x+1} \mathrm{~d} x
$$

$$
I=\frac{1}{2} \ln 2-\left.\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} x^{2}-x\right)\right|_{0} ^{1}-\left.\frac{1}{2} \ln (x+1)\right|_{0} ^{1} \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{2} \ln 2+\frac{1}{4}-\frac{1}{2} \ln 2=\frac{1}{4}
$$

---