定积分换元的时候一定不要忘记修改积分上下限

一、题目

已知 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，且 $\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=A$, 则 $\int_{0}^{2 T} f(3 x+T) \mathrm{d} x=?$

难度评级：

二、解析

错误的解法：换元的同时没有同步更换积分上下限

$$
2 \int_{0}^{\textcolor{red}{T}} f(3 x) \mathrm{~ d} x=2 \cdot \frac{1}{3} \int_{0}^{\textcolor{red}{T}} f(3 x) d(3 x)=\frac{2}{3} \mathrm{~A}
$$

正确的解法：换元的同时同步更换积分上下限

$$
\int_{0}^{2 T} f(3 x+T) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{2 T} f(3 x) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
2 \int_{0}^{T} f(3 x) \mathrm{~ d} x.
$$

又，令：

$$
t=3 x \Rightarrow
$$

$$
x=\frac{1}{3} t \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{~ d} x = \frac{1}{3} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
x \in(0, T) \Rightarrow t \in(0,3 T)
$$

于是：

$$
2 \int_{0}^{T} f(3 x) \mathrm{~ d} x =
$$

$$
2 \cdot \frac{1}{3} \int_{0}^{3 T} f(t) \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\frac{2}{3} \times 3 \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{~ d} t=2 \mathrm{~A}.
$$

---