一、题目
已知 $f(x), \varphi(x)$ 均为连续函数, $a \neq 0$ 且为常数, $\int_{0}^{a} f[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x$ $=$ $A$, 则 $I$ $=$ $\int_{0}^{a} x[f[\varphi(x)]+f[\varphi(a-x)]] \mathrm{~ d} x=?$
难度评级：
二、解析 
首先，我们一定要看清楚下面的中括号的范围：
$$
I=\int_{0}^{a} x \textcolor{red}{[} \textcolor{green}{f[\varphi(x)] } + \textcolor{green}{f[\varphi(a-x)] } \textcolor{red}{]} \mathrm{~ d} x= $$
$$
I=\int_{0}^{a} x f[\varphi(x)] \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{a} x f[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x.
$$
接着，我们尝试将 $\int_{0}^{a} x f[\varphi(x)] \mathrm{~ d} x$ 转化为已知的形式，于是，令：
$$
x=a-t \Rightarrow \mathrm{~ d} x=-\mathrm{~ d} t \Rightarrow t=a-x \Rightarrow t \in(a, 0)
$$
则：
$$
\int_{0}^{a} x f[\varphi(x)] \mathrm{~ d} x=
$$
$$
-\int_{a}^{0}(a-t) f[\varphi(a-t)] \mathrm{~ d} t=
$$
$$
\int_{0}^{a}(a-t) f[\varphi(a-t)] \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
t=x \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{a}(a-x) f[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
a \int_{0}^{a} f[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{a} x f[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x
$$
因此：
$$
I=a \int_{0}^{a} f[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{a} x[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x
$$
$$
+\int_{0}^{a} x[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x=
$$
$$
a \int_{0}^{a} f[\varphi(a-x)] \mathrm{~ d} x =a A.
$$
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