一、题目
$$
I=\int_{-1}^{1} x \arcsin x \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
二、解析 
$$
I=\int_{-1}^{1} x \arcsin x \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \arcsin x \mathrm{~ d} \left(x^{2}\right)
$$
$$
\frac{1}{2}\left[\left.x^{2} \arcsin x\right|_{-1} ^{1}-\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~ d} x\right]=
$$
$$
\frac{1}{2}\left[1 \times \frac{\pi}{2}-\left(-1 \times \frac{-\pi}{2}\right)-\int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~ d} x\right] \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~ d} x=
$$
借助三角代换去根号：
$$
x=\sin t \Rightarrow x \in(0,1) \Rightarrow
$$
$$
t \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow \mathrm{~ d} x=\cos t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
\sqrt{1-x^{2}}=\cos t
$$
于是：
$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} t}{\cos t} \cos t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} t \mathrm{~ d} t=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}
$$
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