当被积函数含有绝对值时一般先考虑用分段的方法去绝对值——此外，在凑微分时一般把 $e^{x}$ 凑到 $d$ 中，因为凑微分的核心就是【使积分变得更简单】

一、题目

已知 $|y|<1$, 则 $K(y)$ $=$ $\int_{-1}^{1} | x-y | +\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x = ?$

难度评级：

二、解析

$$
K(y)=\int_{-1}^{1}|x-y| e^{x} d x=
$$

$$
\int_{-1}^{y}(y-x) e^{x} d x+\int_{y}^{1}(x-y) e^{x} d x=
$$

$$
\int_{-1}^{y}(y-x) d\left(e^{x}\right)+\int_{y}^{1}(x-y) d\left(e^{x}\right)=
$$

$$
\left.e^{x}(y-x)\right|_{-1} ^{y}+\int_{-1}^{y} e^{x} d x+
$$

$$
\left.e^{x}(x-y)\right|_{y} ^{1}-\int_{y}^{1} e^{x} d x=
$$

$$
-e^{-1}(y+1)+e^{y}-e^{-1}+e(1-y)-e^{1}+e^{y}
$$

$$
\frac{-y}{e}-\frac{1}{e}+e^{y}-\frac{1}{e}+e-e y-e+e^{y}=
$$

$$
\frac{-y-2}{e}+2 e^{y}-e y=2 e^{y}-e y-\frac{y+2}{e}
$$

---