高等数学 – 第 74 页

问题

以下哪个是关于 $x$ 的幂级数？

选项

[A]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$

[B]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $x^{a_{n}}$

[C]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $n^{x}$

[D]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x$

答案

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$

问题

当交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n-1}$ $u_{n}$ $($ $u_{n}$ $>$ $0$ $)$ 满足以下哪个选项中的条件时，可以说明该交错级数收敛？

选项

[A]. $u_{n}$ $\geq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $1$

[B]. $u_{n}$ $\geq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 或 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$

[C]. $u_{n}$ $\geq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$

[D]. $u_{n}$ $\leq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$

答案

若 $u_{n}$ $\geq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$, 则，该交错级数收敛，并且，其和 $S$ $\leqslant$ $u_{1}$, 余项 $|$ $R_{n}$ $|$ $\leqslant$ $u_{n+1}$.

条件收敛的结论（B025）

问题

根据条件收敛的结论，若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 条件收敛，则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 中所有正项所构成的级数一定发散，所有负项所构成的级数一定收敛

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定收敛

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散

绝对收敛的结论（B025）

问题

根据绝对收敛的结论，若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛，则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 必发散

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 必收敛

[C]. $\big|$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $\big|$ 必收敛

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 可能收敛

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 必收敛

条件收敛的定义（B025）

问题

已知，有一任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 则，根据绝对收敛的定义，以下哪个选项可以说明 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 条件收敛？

选项

[A]. $\big|$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

绝对收敛的定义（B025）

问题

已知，有一任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 则，根据绝对收敛的定义，以下哪个选项可以说明 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 绝对收敛？

选项

[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛

[B]. $\big|$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛

[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散

答案

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛

正项级数的根值判别法：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$（B024）

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 有 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A]. 发散

[B]. 无法确定

[C]. 收敛

答案

收敛

正项级数的根值判别法：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$（B024）

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 有 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A]. 无法确定

[B]. 收敛

[C]. 发散

答案

无法确定

正项级数的根值判别法：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$（B024）

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 有 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）

选项

[A]. 发散

[B]. 无法确定

[C]. 收敛

答案

发散

正项级数的比值判别法/达朗贝尔准则：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$（B024）

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n !$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A]. 无法判断

[B]. 发散

[C]. 收敛

答案

收敛

正项级数的比值判别法/达朗贝尔准则：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$（B024）

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n !$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A]. 收敛

[B]. 发散

[C]. 无法判断

答案

无法判断

正项级数的比值判别法/达朗贝尔准则：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$（B024）

问题

已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$ ,$2$, $\cdots$, 则，当 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $>$ $1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？

（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n !$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）

选项

[A]. 发散

[B]. 无法判断

[C]. 收敛

答案

发散

正项级数比较判别法的极限形式：$0$ $<$ $A$ $\leqslant$ $+\infty$（B024）

问题

已知，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 及 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 均为正项级数，且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ $=$ $A$ $($ $v_{n}$ $\neq$ $0$ $)$.

若 $0$ $<$ $A$ $\leqslant$ $+\infty$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 之间敛散性的关系如何？

选项

[A]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[B]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[C]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[D]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

答案

若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

正项级数比较判别法的极限形式：$0$ $\leqslant$ $A$ $<$ $+\infty$（B024）

问题

已知，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 及 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 均为正项级数，且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ $=$ $A$ $($ $v_{n}$ $\neq$ $0$ $)$.

若 $0$ $\leqslant$ $A$ $<$ $+\infty$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 之间敛散性的关系如何？

选项

[A]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[B]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

[C]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

[D]. 若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

答案

若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛

正项级数敛散性的比较判别法（B024）

问题

已知 $0$ $\leqslant$ $u_{n}$ $\leqslant$ $v_{n}$, 则，以下关于正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性关系的说法中，正确的是哪个？

选项

[A].
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛

[B].
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散

[C].
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散

[D].
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散

答案

若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散