一、前言 
在本文中，荒原之梦考研数学将证明“导函数连续，则原函数一定可导”这一定理。
继续阅读“证明：导函数连续则原函数一定可导”分类： 高等数学
2024年考研数二第20题解析：多元复合函数求偏导、一重定积分的计算
一、题目
$f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数, 且：
$g(x, y)$ $=$ $f(2 x+y, 3 x-y)$
$\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}$ $+$ $\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}$ $-$ $6 \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ $=$ $1$
(1) 求 $\frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}$ 的值;
(2)若 $\frac{\partial f(u, 0)}{\partial u}$ $=$ $u \mathrm{e}^{-u}$, $f(0, v)$ $=$ $\frac{1}{50} v^{2}$ $-$ $1$, 求 $f(u, v)$.
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第20题解析：多元复合函数求偏导、一重定积分的计算”2024年考研数二第19题解析：旋转体的体积与最值
一、题目
设 $t>0$, 平面有界区域 $D$ 由曲线 $y = \sqrt{x} e^{-x}$ 与直线 $x=t$, $x=2 t$ 及 $x$ 轴围成, $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V(t)$, 求 $V(t)$ 的最大值.
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第19题解析：旋转体的体积与最值”2024年考研数二第18题解析：微分方程的代换化简，一重积分的计算
一、题目
设 $y=y(x)$ 满足方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-9 y=0$, 且 $\left.y\right|_{x=1}=2$, $\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=6$.
(1) 利用 $x=\mathrm{e}^{t}$ 化简方程, 并求 $y(x)$ 的表达式;
(2) 求 $\int_{1}^{2} y(x) \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{~d} x$.
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第18题解析：微分方程的代换化简，一重积分的计算”复合函数求偏导：没“偏”谁就把谁先代进去
不参与偏导运算的纯粹的自变量（不是函数）的具体数值可以在求偏导前先代入。
题目一
已知 $z=\left(x + e^{y}\right)^{x}$, 则：
$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=?$$
难度评级：
继续阅读“复合函数求偏导：没“偏”谁就把谁先代进去”2024年考研数二第17题解析：二重积分的化简与计算、轮换对称性
一、题目
设平面有界区域 $D$ 位于第一象限, 由曲线 $x y=\frac{1}{3}$, $x y=3$ 与直线 $y=\frac{1}{3} x$, $y=3 x$ 围成, 计算 $\iint_{D}(1+x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ $=$ $?$
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第17题解析：二重积分的化简与计算、轮换对称性”2024年考研数二第15题解析：定积分的物理应用
一、题目
某物体以速度 $v(t)$ $=$ $t+k \sin \pi t$ 做直线运动, 若它是从 $t=0$到 $t=3$ 的时间段内平均速度为 $\frac{5}{2}$, 则 $k=?$
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第15题解析：定积分的物理应用”2024年考研数二第13题解析：代换法解可分离变量的一阶微分方程
一、题目
微分方程 $y^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{(x+y)^{2}}$ 满足条件 $y(1)=0$ 的解为（ ）
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第13题解析：代换法解可分离变量的一阶微分方程”2024年考研数二第12题解析：二元函数的非条件极值
一、题目
函数 $f(x, y)$ $=$ $2 x^{3}-9 x^{2}-6 y^{4}+12 x+24 y$ 的极值点是（ ）
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第12题解析：二元函数的非条件极值”2024年考研数二第11题解析：曲率圆的计算、曲率圆圆心的确定
2024年考研数二第09题解析：抽象矩阵秩的特征
一、题目
设 $A$ 为 4 阶矩阵, $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵, 若 $A\left(A-A^{*}\right)$ $=$ $O$, 且 $A \neq A^{*}$, 则 $r(A)$ 取值为 ( )
(A) 0 或 1
(C) 2 或 3
(B) 1 或 3
(D) 1 或 2
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第09题解析：抽象矩阵秩的特征”2024年考研数二第08题解析：逆矩阵的计算
一、题目
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵, $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$, 若 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}^{2}=\left(\begin{array}{ccc}a+2 c & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ 2 c & 0 & c\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}=$
A. $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$
B. $\left(\begin{array}{lll}b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
C. $\left(\begin{array}{lll}a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{array}\right)$
D. $\left(\begin{array}{lll}c & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第08题解析：逆矩阵的计算”2024年考研数二第07题解析：积分敛散性的判别
一、题目
设非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 给出以下三个命题：
(1)若 $\int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{~d} x$ 收敛, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛.
(2)若存在 $p>1$, 使得 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛.
(3)若 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛, 则存在 $p>1$, 使得 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在.
其中真命题个数为（ ）
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
难度评级：
继续阅读“2024年考研数二第07题解析：积分敛散性的判别”转为极坐标系后，怎么确定新的积分上下限？
一、题目
已知积分区域 $D$ $=$ $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant y\right\}$, 求二重积分 $I$ $=$ $\iint_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$.
难度评级：
继续阅读“转为极坐标系后，怎么确定新的积分上下限？”通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系
一、前言
通过本文，荒原之梦考研网将带你一起搞明白如下这类问题：
*如果三阶导数 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 没有零点，那么其原函数 $f(x)$ 最多可能存在多少个零点？
**如果三阶导数 $f^{\prime \prime \prime}(x)$ 有 $1$ 个零点，那么其原函数 $f(x)$ 最多可能存在多少个零点？
继续阅读“通过罗尔定理推导不同阶导数之间零点个数的关系”