高等数学归档 - 第12页共122页

2024年考研数二第21题解析：证明绝对值式子小于XX，需要“两头围堵”

一、题目

设函数 $f (x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{'} (0)$ $=$ $f^{'} (1)$ , $| f^{''} (x) | \leq 1$ , 证明:

(1) 当 $x \in (0, 1)$ 时, $| f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x |$ $\leq$ $\frac{x (1 - x)}{2}$ ;

(2) $| \int_{0}^{1} f (x) d x - \frac{f (0) + f (1)}{2} |$ $\leq$ $\frac{1}{12}$ .

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一、题目

已知，当 $x \to 0$ 时：

$\begin{aligned} α (x) & = \tan x - \sin x \\ β (x) & = \sqrt{1 + x^{2}} - \sqrt{1 - x^{2}} \\ γ (x) & = \int_{0}^{1 - \cos x} \sin t d t \end{aligned}$

都是无穷小，将它们关于 $x$ 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（）

(A). $α (x)$ , $β (x)$ , $γ (x)$

(B). $α (x)$ , $γ (x)$ , $β (x)$

(C). $β (x)$ , $α (x)$ , $γ (x)$

(D). $γ (x)$ , $α (x)$ , $β (x)$

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一、题目

已知 $f (x)$ $=$ $max {1, x^{2}}$ ，则 $\int f (x) d x$ $=$ $?$

(A). ${\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} + C, & x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + C, & x > 1 \end{cases}$

(B). ${\begin{cases} x^{3} - \frac{2}{3} + C, & x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3} + C, & x > 1 \end{cases}$

(C). ${\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} + C_{1}, & x < - 1 \\ x + C_2, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + C_3, & x > 1 \end{cases}$

(D). ${\begin{cases} x^{3} - \frac{4}{3} + C, & x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3} + C, & x > 1 \end{cases}$

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前言

在求解一个函数的原函数的时候，我们常用的方法就是计算其不定积分。但其实，我们也可以使用计算其变上限积分的方式求解原函数。

那么，这两种求解原函数的方法有哪些区别呢？

在本文中，荒原之梦考研数学将通过一些图片和实例，帮助大家理解这一知识点。

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一、题目

$I$ $=$ $lim_{x \to \infty} \frac{e^{\sin \frac{1}{x}} - 1}{{(1 + \frac{1}{x})}^{k} - (1 + \frac{1}{x})}$ $=$ $a$ $\neq$ $0$ 成立的充要条件是 ( )

(A). $k \neq 1$

(B). $k > 1$

(C). $k > 0$

(D). 与 $k$ 无关

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一、题目

已知 $lim_{x \to \infty} (\frac{x^{2}}{x + 1} - a x - b)$ $=$ $0$ , 则 ( )

(A). $a = 1$ , $b = 1$

(B). $a = - 1$ , $b = - 1$

(C). $a = 1$ , $b = - 1$

(D). $a = - 1$ , $b = 1$

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一、题目

当 $x \to 0$ 时, $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 是（）

(A). 无穷小

(C). 无界但非无穷大

(B). 无穷大

(D). 有界但非无穷小

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一、前言

三角函数 $y = \sin x$ 是考研数学中常用的函数之一。在本文中，荒原之梦考研数学将给出关于三角函数 $y = \sin x$ 的函数图像以及常用的特殊点，以供大家参考查阅。

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为什么震荡时没有“无穷大”：因为破坏了无穷大趋于路径的唯一性和单向性

前言

一般情况下，对于下面这些量是无穷大量，我们应该是没有疑问的：

$\begin{aligned} lim_{x \to 0^{+}} \ln x & \to \infty \\ lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} & \to \infty \\ lim_{x \to + \infty} x & \to \infty \\ lim_{x \to + \infty} \ln x & \to \infty \\ lim_{x \to + \infty} x^{2} & \to \infty \\ lim_{x \to + \infty} e^{x} & \to \infty \end{aligned}$

但是，对于下面这些量是否是无穷大量，我们可能会有一些疑问，在本文中，荒原之梦考研数学将帮助大家解决这些疑问：

$\begin{aligned} lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}) & \to ? \\ lim_{n \to \infty} (- 1)^{n} (\sqrt{n}) & \to ? \end{aligned}$

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利用零点定理和单调性判断实根个数的原理分析与例题

前言

利用零点定理和单调性判断函数在一个区间内零点的具体个数或者大致个数属于考研数学中一类基础题目。在本文中，荒原之梦考研数学将通过多张函数图像，形象的阐述清楚该考点的原理，还会通过一些例题，加深同学们对该考点的理解。

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对涉及反三角函数的数列进行敛散性和单调性的判定

一、题目

已知数列 ${x_{n}}$ ，且有如下说法：

① 若 ${\arctan x_{n}}$ 收敛，则 ${x_{n}}$ 收敛

② 若 ${\arctan x_{n}}$ 单调，则 ${x_{n}}$ 收敛

③ 若 $x_{n} \in [- 1, 1]$ , 且 ${x_{n}}$ 收敛，则 ${\arcsin x_{n}}$ 收敛

④ 若 $x_{n} \in [- 1, 1]$ , 且 ${x_{n}}$ 单调，则 ${\arcsin x_{n}}$ 收敛

则上面的说法中，正确的是哪些？

(A). ① ②

(C). ① ③

(B). ③ ④

(D). ② ④

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极坐标系二重积分的转换坐标系和调换积分次序的计算

一、题目

$I$ $=$ $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} d σ \int_{0}^{\frac{1}{\sin θ}} f (r) r d r$ $=$ $?$

(A) $\int_{0}^{1}$ $d x$ $\int_{0}^{1} f (\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ $d y$

(B) $\int_{0}^{1}$ $d x$ $\int_{1}^{x} f (\sqrt{x^{2} + y^{2}})$ $d y$

(C) $\int_{0}^{1}$ $d r$ $\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$ $f (r) r d σ$ $+$ $\int_{1}^{\sqrt{2}}$ $d r$ $\int_{\frac{π}{4}}^{\arcsin \frac{1}{r}}$ $f (r) r$ $d σ$

(D) $\int_{0}^{\sqrt{2}}$ $dr$ $\int_{\arcsin \frac{1}{r}}^{\frac{π}{4}}$ $f (r)$ $d σ$

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无穷大乘以无穷大一定得更高阶的无穷大

一、题目

已知，当 $x \to + \infty$ 时, $f (x)$ , $g (x)$ 都是无穷大, 则当 $x \to + \infty$ 时, 下列结论正确的是哪个？

A. $f (x) - g (x)$ 是无穷小

C. $\frac{f (x) + g (x)}{f (x) g (x)}$ 是无穷小

B. $f (x) + g (x)$ 是无穷大

D. $\frac{g (x)}{f (x)} \to 1$

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对于不是分式的式子一般不能直接“抓大头”

一、题目

已知，函数 $f (x)$ $=$ $\sqrt{1 + x + x^{2}}$ $-$ $\sqrt{1 - x + x^{2}}$ , 则 ( )

A. $f (x)$ 为奇函数

C. $f (x)$ 为无界函数

B. $f (x)$ 为偶函数

D. $lim_{x \to \infty}$ $f (x)$ $=$ $1$

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利用单调函数的定义判断复合函数的单调性

一、题目

设函数 $f (x)$ $=$ $\cos (\sin x)$ , $g (x)$ $=$ $\sin (\cos x)$ , 则当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时，可以判断（）

A. $f (x)$ 单调增加， $g (x)$ 单调减少

C. $f (x)$ 与 $g (x)$ 都单调减少

B. $f (x)$ 单调减少， $g (x)$ 单调增加

D. $f (x)$ 与 $g (x)$ 都单调增加

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分类：高等数学

2024年考研数二第21题解析：证明绝对值式子小于XX，需要“两头围堵”

一、题目

阶数越高的无穷小越小，阶数越大的无穷大越大

一、题目

分段函数求不定积分的两种常用方法：不定积分法和变上限积分法

一、题目

变上限积分求原函数和不定积分求原函数的区别

前言

能用等号连接的条件就是“充要”条件

一、题目

为了表示不同阶的无穷大，我们发明了一种标记方式

一、题目

0 乘以无穷大（∞）还是 0，震荡时无穷大不存在

一、题目

三角函数 sin x 的函数图像和常用特殊点

一、前言

为什么震荡时没有“无穷大”：因为破坏了无穷大趋于路径的唯一性和单向性

前言

利用零点定理和单调性判断实根个数的原理分析与例题

前言

对涉及反三角函数的数列进行敛散性和单调性的判定

一、题目

极坐标系二重积分的转换坐标系和调换积分次序的计算

一、题目

无穷大乘以无穷大一定得更高阶的无穷大

一、题目

对于不是分式的式子一般不能直接“抓大头”

一、题目

利用单调函数的定义判断复合函数的单调性

一、题目