[高数]什么情况下可以把 $x$ 看作常数

前言

在解题的过程中,把某些变量,例如 “$x$” 看作常数可以方便对题目的理解并提升解题效率。本文将简要探讨哪些情况下可以把哪个或哪些变量看作常数进行处理,以作参考。

正文

1. 在变限积分运算过程中将除了积分变量之外的变量看作常数

假如变限积分的积分变量是 $t$, 那么,在该变限积分进行积分相关的运算时,可以把除了积分变量 $t$ 之外的变量,例如 $x$, 当作常数处理。

有关这方面的相关说明以及示例,可以参考如下这篇文章:

[高数]有关变限积分求导的几种形式

2. 极限运算中将除了极限元素之外的其他变量看作常数

例如:

$$
f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n-1) x}{n x^{2} + 1}. ①
$$

在 $①$ 式中,由于讨论的是 $n \rightarrow \infty$, 所以,变量 $n$ 就可以称作【极限元素】,而变量 $x$ 则是没有体现极限属性的变量,因此,$x$ 可以在上述【极限运算】过程中被视作常数。

如果题目中给出了如 $①$ 式这样的以极限形式表示的函数,则一般要考虑先进行极限运算直至化为最简形式,例如下面的化简运算。

于是:

$$
f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n-1) x}{n x^{2} + 1} =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{nx – x}{nx^{2} + 1} =
$$

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{nx}{nx^{2}} =
$$

$$
\frac{x}{x^{2}} = \frac{1}{x}.
$$

3. 多元函数求偏导中将当前没有被求偏导的变量看作常数

由于多元函数中,不同的“元”,也就是变量之间并没有什么关系,因此,对其中一个“元”求偏导的时候,另外的“元”就要被视为常数。

例如,假设有多元函数 $z = f(x,y) = x^{2} y^{2}$, 则:

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y^{2} \cdot 2x;
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial y} = x^{2} \cdot 2y.
$$

这里需要注意多元函数求偏导和多元复合函数求偏导的不同。在多元复合函数中,不同的“元”对应着不同的函数,因此,这些“元”本身可能存在一些关联性(例如,$z = f(u,v), u = x+y, v = x-y$, 此时,作为“元”的 $u$ 和 $v$ 其实是有关联的),这个时候,对其中一个“元”求偏导时就不能把另一个“元”看作常数——思考本文上述提到的这些可以被看作常数的变量可以发现,被看作常数的变量都是在当前的运算环境中和没有被看作常数的变量不存在关联性的变量。换句话说,由于当前的运算并不涉及这些可以被看作常数的变量,因此,这些被看作常数的变量无论等于多少——即使是等于一个恒定值——也不影响当前运算的含义以及结论,所以这些变量就可以被看作常数,即看作一个恒定值。