[高数]有关变限积分求导的几种形式

一、前言

在考研数学中，一般涉及到变限积分的题目都会需要对变限积分进行求导运算。本文将总结几种形式的变限积分求导过程。

二、正文

注意：

1. 当我们说“求导”时，如果没有特别说明是对谁求导，而且被求导的式子中含有变量 “$x$”, 那么，求导就是对 “$x$” 求导；
2. 变现积分中的积分变量是 “$\mathrm{d}t$” 中的 “$t$”, 在积分运算中，除了 “$t$” 之外的其他变量，例如 “$x$” 都要被看作【常数】来处理。

1. $[{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }$

$$[{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }=$$

$$f(x).$$

注意：
$f(t)$ 中的 $t$ 既可以是单独的 $t$ 本身，也可以是由 $t$ 和一些常数及初等函数组合而成的关于 $t$ 的函数，只要这个函数中不含 $x$ 就可以按本例中的方法计算该变限积分的导数，例如：

$$f(x)={\int }_0^x\ln (1+\sin t)dt.$$

则：

$$f^{\prime }(x)=\ln (1+x).$$

2. $[{\int }_0^{x}xf(t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }$

$$[{\int }_0^{x}xf(t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }=$$

在积分运算中把 $x$ 看作常数，常数可以提到积分符号的外面。

$$[x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }=$$

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+xf(x).$$

3. $[{\int }_0^x(x–t)f(t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }$

$$[{\int }_0^x(x–t)f(t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }=$$

$$[{\int }_0^{x}xf(t)\mathrm{d}t–{\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }=$$

$$[x{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t–{\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }=$$

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t+xf(x)–xf(x)=$$

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t.$$

4. $[{\int }_0^{x}f(x–t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }$

由 $\mathrm{d}t$ 可知，积分变量是 $t$, 但是，由 $f(x-t)$ 可知，积分函数的自变量是 $x-t$, 因此，必须统一函数自变量和积分变量，在这个过程中要特别注意对积分上限和积分下限的修改。

在这里我们必须要明确的一点是，在变限积分中，积分下限不一定小于积分上限，因此，由 ${\int }_0^{x}f(x–t)\mathrm{d}t$ 无法得出 $0<t<x$ 这样的结论，只能知道，$t$ 对应于 ${\int }_0^x$, 即：

$$t\Rightarrow {\int }_0^x.$$

于是：

$$-t\Rightarrow {\int }_{-0}^{-x}.$$

注意：
当 $t\Rightarrow {\int }_0^x$ 时，$-t\nRightarrow {\int }_x^0$. 因为 $-t$ 中的负号 “$-$” 不是相当于在 $\int$ 前面加上个负号，而是对 ${\int }_0^x$ 中的上限和下限同时做变化，也就是对上限和下限同时加负号。

进而：

$$x-t\Rightarrow {\int }_{-0+x}^{-x+x}\Rightarrow {\int }_x^0.$$

于是，对于 $[{\int }_0^{x}f(x–t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }$, 我们可以这样计算：

令：

$$u=x–t.$$

则：

$$\mathrm{d}u=–\mathrm{d}t.$$

于是：

$$[{\int }_0^{x}f(x–t)\mathrm{d}t{]}^{\prime }=$$

$$[–{\int }_x^{0}f(u)\mathrm{d}u{]}^{\prime }=$$

$$[{\int }_0^{x}f(u)\mathrm{d}u{]}^{\prime }=$$

$$f(x).$$

相关例题：

[1]. 变限积分被积函数中同时含有积分上下限该求导？
[2]. 做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势

5. $[{\int }_1^{\frac{1}{x}}f(xt)\mathrm{d}t{]}^{\prime }$

令：

$$u=xt.$$

则：

$$\mathrm{d}u=x\mathrm{d}t.$$

于是：

$$t\Rightarrow {\int }_1^{\frac{1}{x}}\Rightarrow xt\Rightarrow {\int }_{x\times 1}^{x\times \frac{1}{x}}\Rightarrow {\int }_x^1.$$

$$[{\int }_1^{\frac{1}{x}}f(xt)\mathrm{d}t{]}^{\prime }=$$

$$[\frac{1}{x}{\int }_x^{1}f(u)\mathrm{d}u{]}^{\prime }=$$

$$[\frac{(-1)}{x}{\int }_1^{x}f(u)\mathrm{d}u{]}^{\prime }=$$

积分时 $x$ 是可以看作常数的，但是求导时 $x$ 不能被看作常数，因此，含有 $x$ 的式子是不能提到求导符号作用范围之外的。于是，这样写是错的：$\frac{(-1)}{x}[{\int }_1^{x}f(u)\mathrm{d}u{]}^{\prime }$.

$$\frac{1}{x^2}{\int }_1^{x}f(u)\mathrm{d}u–\frac{1}{x}f(x).$$

Tips

上述虽然都是关于变限积分求导的计算，但是，其中用到的一些计算方法也可以用于对变限积分的整理变形运算。

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更新记录

2023 年 01 月 06 日 / 第 01 次更新：补充相关链接、优化 Latex 代码、修改标题样式。

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