题目
若函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $e^{x+2y+3z} + xyz = 1$ 确定，则 $dz|_{(0,0)} = ?$
解析
$dz$ 表示对 $z$ 的微分，公式如下：
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy.
$$
于是，要想求出 $dz$, 必须求出 $z$ 对 $x$ 的偏导和 $z$ 对 $y$ 的偏导。
在 $e^{x+2y+3z} + xyz = 1$ 式子等号两端对 $x$ 求偏导，得：
$$
e^{x + 2y + 3z} \cdot (1+3 \frac{\partial z}{\partial x}) + yz + xy \frac{\partial z}{\partial x} = 0. ①
$$
在 $e^{x+2y+3z} + xyz = 1$ 式子等号两端对 $y$ 求偏导，得：
$$
e^{x+2y+3z} \cdot (2+3\frac{\partial z}{\partial y}) + xz + xy \frac{\partial z}{\partial y} = 0. ②
$$
又，把 $x=0$, $y=0$ 带入 $e^{x+2y+3z} + xyz = 1$, 得：
$$
e^{3z} + 0 = 1 \Rightarrow
$$
$$
3z = 0 \Rightarrow z = 0.
$$
把 $x=0$, $y=0$, $z=0$ 分别带入 $①$, $②$ 两式，得：
$$
1 + 3 \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = – \frac{1}{3}.
$$
$$
2+3\frac{\partial z}{\partial y} = 0 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2}{3}.
$$
于是：
$$
dz = -\frac{1}{3} dx – \frac{2}{3}dy.
$$
综上可知，正确答案为 $-\frac{1}{3} dx – \frac{2}{3}dy$.
EOF