2014年考研数二第11题解析

题目

设 $z=f(x,y)$ 是由 $e^{2yz} + x + y^{2} + z = \frac{7}{4}$ 确定的函数,则 $d z |_{(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})} = ?$

解析

本题是涉及全微分计算的题目,考研真题中已多次考到该知识。

将 $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}$ 代入 $e^{2yz} + x + y^{2} + z = \frac{7}{4}$ 得:

$$
e^{z} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + z = \frac{7}{4} \Rightarrow
$$

$$
e^{z} + z = 1 \Rightarrow
$$

$$
z = 0.
$$

在式子 $e^{2yz} + x + y^{2} + z = \frac{7}{4}$ 等号两端对 $x$ 求偏导得:

$$
e^{2yz} \cdot 2y \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + 1 + \frac{\partial z}{\partial x} = 0. ①
$$

在式子 $e^{2yz} + x + y^{2} + z = \frac{7}{4}$ 等号两端对 $y$ 求偏导得:

$$
e^{2yz} \cdot 2 [z + y \cdot \frac{\partial z}{\partial y}] + 2y + \frac{\partial z}{\partial y} = 0. ②
$$

将 $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}$, $z=0$ 带入 $①$ 式得:

$$
2 \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = -1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = – \frac{1}{2}.
$$

将 $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}$, $z=0$ 带入 $②$ 式得:

$$
2 \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = -1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial y} = – \frac{1}{2}.
$$

又:

$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy.
$$

于是:

$$
dz = – \frac{1}{2}dx – \frac{1}{2}dy.
$$

综上可知,正确答案为 $- \frac{1}{2}dx – \frac{1}{2}dy$.

EOF


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