2012年考研数二第01题解析

题目

曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2–1}$ 的渐近线的条数为 $?$

$$A.0$$

$$B.1$$

$$C.2$$

$$D.3$$

解析

由题知：

$$y=$$

$$\frac{x^2+x}{x^2–1}=$$

$$\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}.$$

则：

水平渐近线

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x-1}=$$

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x}=1.$$

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}=$$

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x-1}=$$

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{x}=1.$$

于是，$y$ 的水平渐近线只有 $y=1$ 这一条。

倾斜渐近线

由于 $y$ 在 $x$ 轴的正负半轴都有水平渐近线，因此 $y$ 不存在倾斜渐近线。

垂直渐近线

垂直渐近线一般在间断点处存在，而间断点一般是被定义区间包围的的无定义的点。

在本题中，通过【变形】后的式子 $\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}$ 可以看出，无定义的点有 $x=-1$ 和 $x=1$ 两个。但是，从【变形并精简】后的式子 $\frac{x}{x-1}$ 中，我们只能看到 $x=1$ 这一个无定义的点。虽然通过后面的计算可以发现，只有 $x=1$ 对应于一个垂直渐近线，但是通过【变形并精简】后的式子判断垂直渐近线确实有可能造成疏漏，从而导致错误。

因此，在寻找垂直渐近线的时候，只能对原式做【变形】，绝对不要进行任何“消去”或者“约去”等形式的【精简】，以免造成漏算。

假设 $x=1$ 处存在垂直渐近线，则：

$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{1}{0^{+}}=+\mathrm{\infty };$$

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{1}{0^{-}}=-\mathrm{\infty }.$$

于是，$x=1$ 处存在一条垂直渐近线。

假设 $x=-1$ 处存在垂直渐近线，则：

$$\underset{x\to -1}{lim}\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\ne \mathrm{\infty }.$$

因此，$x=-1$ 处不存在垂直渐近线。

综上，$y$ 有两条渐近线。

综上可知，正确选项为 $C$.

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