2012年考研数二第01题解析

题目

曲线 $y=\frac{x^{2} + x}{x^{2} – 1}$ 的渐近线的条数为 $?$

$$
A. 0
$$

$$
B. 1
$$

$$
C. 2
$$

$$
D. 3
$$

解析

由题知:

$$
y=
$$

$$
\frac{x^{2} + x}{x^{2} – 1} =
$$

$$
\frac{x (x+1)}{(x+1)(x-1)}.
$$

则:

水平渐近线

$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x (x+1)}{(x+1)(x-1)} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{x-1} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{x} = 1.
$$

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x}{x-1} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x}{x} = 1.
$$

于是,$y$ 的水平渐近线只有 $y=1$ 这一条。

倾斜渐近线

由于 $y$ 在 $x$ 轴的正负半轴都有水平渐近线,因此 $y$ 不存在倾斜渐近线。

垂直渐近线

垂直渐近线一般在间断点处存在,而间断点一般是被定义区间包围的的无定义的点。

在本题中,通过【变形】后的式子 $\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}$ 可以看出,无定义的点有 $x=-1$ 和 $x=1$ 两个。但是,从【变形并精简】后的式子 $\frac{x}{x-1}$ 中,我们只能看到 $x=1$ 这一个无定义的点。虽然通过后面的计算可以发现,只有 $x=1$ 对应于一个垂直渐近线,但是通过【变形并精简】后的式子判断垂直渐近线确实有可能造成疏漏,从而导致错误。

因此,在寻找垂直渐近线的时候,只能对原式做【变形】,绝对不要进行任何“消去”或者“约去”等形式的【精简】,以免造成漏算。

假设 $x=1$ 处存在垂直渐近线,则:

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{0^{+}} = +\infty;
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{0^{-}} = -\infty.
$$

于是,$x=1$ 处存在一条垂直渐近线。

假设 $x=-1$ 处存在垂直渐近线,则:

$$
\lim_{x \rightarrow -1} \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \neq \infty.
$$

因此,$x=-1$ 处不存在垂直渐近线。

综上,$y$ 有两条渐近线。

综上可知,正确选项为 $C$.

EOF


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