2013年考研数二第09题解析

题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0} [2 – \frac{\ln (1+x)}{x}]^{\frac{1}{x}} = ?
$$

解析

由于当 $x \rightarrow 0$ 时:

$$
\ln (1+x) \sim x.
$$

于是:

$$
原式 =
$$

$$
[2-1]^{\infty} = 1^{\infty}.
$$

因此,初步分析可知,本题可以借助关于 $e$ 的重要极限解出来:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^{x} = e.
$$

下面要做的,就是把题目中的式子往上式的形式上凑。

$$
\lim_{x \rightarrow 0} [1 – \frac{\ln (1+x)}{x} + 1]^{\frac{1}{x}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} [\frac{x – \ln (1+x)}{x} + 1]^{\frac{1}{x}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} [1 + \frac{x}{2}]^{\frac{1}{x}} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow 0} [1 +\frac{x}{2}]^{\frac{2}{x} \frac{x}{2} \frac{1}{x}} =
$$

$$
e^{\frac{x}{2} \frac{1}{x}} =
$$

$$
e^{\frac{1}{2}}.
$$

综上可知,正确答案为 $e^{\frac{1}{2}}$.

EOF