2017年考研数二第11题解析

题目

$$
\int_{0}^{+ \infty} \frac{\ln (1+x)}{(1+x)^{2}} dx = ?
$$

解析

计算过程一复杂就容易弄错正负号,因此,一旦计算过程中涉及正负号,就需要格外认真仔细地去计算。

由于:

$$
(\frac{1}{1+x})^{‘} = -1 \frac{1}{(1+x)^{2}}.
$$

因此:

$$
\int_{0}^{+ \infty} \frac{\ln (1+x)}{(1+x)^{2}} =
$$

$$
-1 \int_{0}^{+ \infty} \ln(1+x) d(\frac{1}{1+x}) \Rightarrow 分部积分法 \Rightarrow
$$

$$
-1 [\frac{\ln(1+x)}{1+x} |_{0}^{+\infty} – \int_{0}^{+ \infty}\frac{1}{(1+x)^{2}}dx]=
$$

$$
-1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} |_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+ \infty}\frac{1}{(1+x)^{2}}dx \Rightarrow
$$

$$
-1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} |_{0}^{+\infty} \Rightarrow
$$

当 $x \rightarrow + \infty$ 时,$\frac{\ln (1+x)}{1+x}$ 的分子和分母都趋于正无穷,因此,此时,可以尝试用洛必达法则:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\ln(1+x)}{1+x} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{1}{1+x}=0
$$

当 $x \rightarrow 0$ 时,$\frac{\ln(1+x)}{1+x}$ 的分母趋于 $1$, 而分子趋于 $0$, 因此,此时不可以使用洛必达法则,只能直接计算:

注意:使用洛必达前一定要注意判断是否满足使用洛必达的三个条件,不是所有的情况下都可以使用洛必达法则。

于是:

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{1+x} =
$$

$$
\frac{\ln 1}{1} = \ln 1 = 0.
$$

于是:

$$
-1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} |_{0}^{+\infty} = -[0-0]=0.
$$

又:

$$
\int_{0}^{+ \infty}\frac{1}{(1+x)^{2}}dx =
$$

$$
-1 \cdot \frac{1}{1+x} |_{0}^{+ \infty} =
$$

$$
-1 \cdot [0-1]=1.
$$

即:

$$
\int_{0}^{+ \infty} \frac{\ln (1+x)}{(1+x)^{2}} dx = 1.
$$

注意:

(1)上面的计算过程中要特别注意正负号,一定要明确当前正负号的作用范围,必要的情况下,要使用乘以 $-1$ 代替 $”-“$ 负号以使整个式子中的负号更加明显;

(2)有 $\ln$ 出现的积分式子一般都需要用到分部积分法。

综上可知,正确答案为 $1$.

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作者: zhaokaifeng.com

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