2017 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

若函数

f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}, x > 0 \\ b, x\leqslant 0 \end{matrix}\right.

x=0 处连续,则()

( A ) ab = \frac{1}{2}

( B ) ab = - \frac{1}{2}

( C ) ab = 0

( D ) ab = 2

解析

这道题可以根据函数连续的定义解出。

函数 f(x) 在某一点 x_{0} 处连续的定义如下:

\lim_{x \rightarrow x_{0^{-}}} = \lim_{x \rightarrow x_{0^{+}}} = f(x_{0})

因此,若函数 f(x)x = 0 处连续,则根据定义的话,我们需要证明:

\lim_{x \rightarrow 0^{-}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} = f(0)

观察题目可知,这是一个分段函数,且当 x \in (- \infty, 0] 时,f(x)=b. 于是,当 x 从左边趋近于 0 时,f(0^{-}) = b.

x 从右边趋近于 0 时,适用的取值范围为 x>0, 而对应的函数值为:

\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}

根据如下的等价无穷小原则:

1- \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}

于是有:

原式 =\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{2}(\sqrt{x})^{2}}{ax} = \frac{1}{2a}

为了满足上面提到的函数在一点处连续的定义,需要有:

\frac{1}{2a} = b

化简形式得:

ab = \frac{1}{2}

由此可知,选 A.

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