题目
若函数
f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}, x > 0 \\ b, x\leqslant 0 \end{matrix}\right.在 x=0 处连续，则（）
( A ) ab = \frac{1}{2}
( B ) ab = - \frac{1}{2}
( C ) ab = 0
( D ) ab = 2
解析
这道题可以根据函数连续的定义解出。
函数 f(x) 在某一点 x_{0} 处连续的定义如下：
\lim_{x \rightarrow x_{0^{-}}} = \lim_{x \rightarrow x_{0^{+}}} = f(x_{0})因此，若函数 f(x) 在 x = 0 处连续，则根据定义的话，我们需要证明：
\lim_{x \rightarrow 0^{-}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} = f(0)观察题目可知，这是一个分段函数，且当 x \in (- \infty, 0] 时，f(x)=b. 于是，当 x 从左边趋近于 0 时，f(0^{-}) = b.
当 x 从右边趋近于 0 时，适用的取值范围为 x>0, 而对应的函数值为：
\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}根据如下的等价无穷小原则：
1- \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}于是有：
原式 =\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{2}(\sqrt{x})^{2}}{ax} = \frac{1}{2a}
为了满足上面提到的函数在一点处连续的定义，需要有：
\frac{1}{2a} = b化简形式得：
ab = \frac{1}{2}由此可知，选 A.
EOF