2017 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

若函数

[latex]f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}, x > 0 \\ b, x\leqslant 0 \end{matrix}\right.[/latex]

在 [latex]x=0[/latex] 处连续,则()

( A ) [latex]ab = \frac{1}{2}[/latex]

( B ) [latex]ab = – \frac{1}{2}[/latex]

( C ) [latex]ab = 0[/latex]

( D ) [latex]ab = 2[/latex]

解析

这道题可以根据函数连续的定义解出。

函数 [latex]f(x)[/latex] 在某一点 [latex]x_{0}[/latex] 处连续的定义如下:

[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0^{-}}} = \lim_{x \rightarrow x_{0^{+}}} = f(x_{0})[/latex]

因此,若函数 [latex]f(x)[/latex] 在 [latex]x = 0[/latex] 处连续,则根据定义的话,我们需要证明:

[latex]\lim_{x \rightarrow 0^{-}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} = f(0)[/latex]

观察题目可知,这是一个分段函数,且当 [latex]x \in (- \infty, 0][/latex] 时,[latex]f(x)=b[/latex]. 于是,当 [latex]x[/latex] 从左边趋近于 [latex]0[/latex] 时,[latex]f(0^{-}) = b[/latex].

当 [latex]x[/latex] 从右边趋近于 [latex]0[/latex] 时,适用的取值范围为 [latex]x>0[/latex], 而对应的函数值为:

[latex]\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}[/latex]

根据如下的等价无穷小原则:

[latex]1- \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}[/latex]

于是有:

原式 [latex]=\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{2}(\sqrt{x})^{2}}{ax} = \frac{1}{2a}[/latex]

为了满足上面提到的函数在一点处连续的定义,需要有:

[latex]\frac{1}{2a} = b[/latex]

化简形式得:

[latex]ab = \frac{1}{2}[/latex]

由此可知,选 A.

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