题目
若函数
[latex]f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}, x > 0 \\ b, x\leqslant 0 \end{matrix}\right.[/latex]
在 [latex]x=0[/latex] 处连续，则（）
( A ) [latex]ab = \frac{1}{2}[/latex]
( B ) [latex]ab = – \frac{1}{2}[/latex]
( C ) [latex]ab = 0[/latex]
( D ) [latex]ab = 2[/latex]
解析
这道题可以根据函数连续的定义解出。
函数 [latex]f(x)[/latex] 在某一点 [latex]x_{0}[/latex] 处连续的定义如下：
[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0^{-}}} = \lim_{x \rightarrow x_{0^{+}}} = f(x_{0})[/latex]
因此，若函数 [latex]f(x)[/latex] 在 [latex]x = 0[/latex] 处连续，则根据定义的话，我们需要证明：
[latex]\lim_{x \rightarrow 0^{-}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} = f(0)[/latex]
观察题目可知，这是一个分段函数，且当 [latex]x \in (- \infty, 0][/latex] 时，[latex]f(x)=b[/latex]. 于是，当 [latex]x[/latex] 从左边趋近于 [latex]0[/latex] 时，[latex]f(0^{-}) = b[/latex].
当 [latex]x[/latex] 从右边趋近于 [latex]0[/latex] 时，适用的取值范围为 [latex]x>0[/latex], 而对应的函数值为：
[latex]\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}[/latex]
根据如下的等价无穷小原则：
[latex]1- \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}[/latex]
于是有：
原式 [latex]=\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{2}(\sqrt{x})^{2}}{ax} = \frac{1}{2a}[/latex]
为了满足上面提到的函数在一点处连续的定义，需要有：
[latex]\frac{1}{2a} = b[/latex]
化简形式得：
[latex]ab = \frac{1}{2}[/latex]
由此可知，选 A.
EOF