这个无穷阶导数的规律你会找吗？

一、题目

设 $f(x)=\frac{4 x-3}{2 x^{2}-3 x-2}$, 则 $f^{(n)}(x)=?$

难度评级：

二、解析

首先，由十字相乘法可知：

$$
2 x^{2}-3 x-2 \Rightarrow (x-2)(2 x+1)
$$

于是：

$$
f(x)=\frac{4 x-3}{2 x^{2}-3 x-2} \Rightarrow
$$

由配方法可得：

$$
f(x)=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{2 x+1} \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}2 A+B=4 \\ A-2 B=3\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A=1 \\ B=2\end{array}\right.\right.
$$

一阶导为：

$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{x-2}+\frac{2}{2 x+1} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\frac{-1}{(x-2)^{2}}+\frac{-4}{(2 x+1)^{2}} \Rightarrow
$$

二阶导为：

$$
f^{\prime \prime}(x)=\frac{2(x-2)}{(x-2)^{4}}+\frac{8 \times 2(2 x+1)}{(2 x+1)^{4}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime}(x)=\frac{2}{(x-2)^{3}}+\frac{16}{(2 x+1)^{3}}
$$

三阶导为：

$$
f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{-2 \times 3(x-2)^{2}}{(x-2)^{6}}+\frac{-16 \times 3 \times 2(2 x+1)^{2}}{(2 x+1)^{6}} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{-2 \times 3}{(x-2)^{4}}+\frac{ -16 \times 2 \times 3}{(2 x+1)^{4}} \Rightarrow
$$

于是，可推知 $n$ 阶导为：

$$
f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n} \cdot n !}{(x-2)^{n+1}}+\frac{-(-2)^{n+1} \cdot n !}{(2 x+1)^{n+1}}
$$

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