一题搞定有关函数图像的几个关键问题:单调区间,凹凸区间,极值点

一、题目题目 - 荒原之梦

函数 $y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)}$ 的单调增区间是(),单调减区间是(),极值是(),凹区间是(),凸区间是()

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

前提知识

  1. 一阶导大于零 — 单调增
  2. 一阶导小于零 — 单调减
  3. 一阶导等于零且二阶导不等于零 — 极值点
  4. 二阶导等于零的点 — 拐点
  5. 原函数先增后减 — 凸区间
  6. 原函数先减后增 — 凹区间

求解步骤

首先,计算出一阶导 $y^{\prime}$:

$$
y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=\frac{2(x-3) \cdot 4(x-1)-(x-3)^{2} \cdot 4}{16(x-1)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=\frac{(x-3) \cdot[4(x-1)-2(x-3)]}{8(x-1)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=\frac{(x-3)(4 x-4-2 x+6)}{8(x-1)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=\frac{(x-3)(2 x+2)}{8(x-1)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{red}{
y^{\prime}=\frac{(x-3)(x+1)}{4(x-1)^{2}}=\frac{x^{2}-2 x-3}{4(x-1)^{2}}
}
$$

接着,计算出二阶导 $y^{\prime \prime}$:

$$
y^{\prime \prime}=\frac{(2 x-2) \cdot 4(x-1)^{2}-(x-3)(x+1) \cdot 8(x-1)}{16(x-1)^{4}}
$$

$$
y^{\prime \prime}=\frac{2(x-1)^{3}-2 \cdot(x-3)(x+1)(x-1)}{4(x-1)^{4}} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=\frac{2(x-1)^{2}-4^{2}(x-3)(x+1)}{4(x-1)^{3}} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=\frac{2\left(x^{2}+1-2 x\right)-2\left(x^{2}-2 x-3\right)}{4(x-1)^{3}} \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=\frac{2 x^{2}+2-4 x-2 x^{2}+4 x+6}{4(x-1)^{3}} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{red}{
y^{\prime \prime}=\frac{2}{(x-1)^{3}}
}
$$

于是,我们就可以逐一求解题目中的问题了。

首先,令 $y^{\prime}=0$, 则:

$$
x_{1}=3, x_{2}=-1
$$

接着,我们需要判断 $y^{\prime}$ 的大致图像——

分析可知,$y^{\prime}$ 的正负主要取决于分子(分母始终为正),因此:

$$
\left(x^{2}-2 x-3\right)_{x}^{\prime}=2 x-2 \Rightarrow
$$

$$
(2 x-2)_{x}^{\prime}=2>0
$$

于是可知,$y^{\prime}$ 的分子是一个凹二次函数,且在 $x = -1$ 和 $x = 3$ 两处分别取得零,由于 $y^{\prime}$ 的分母始终为正,因此,$y^{\prime}$ 的正负和其分子的正负保持一致,于是:

$$
(-\infty,-1) \cup(3,+\infty) \Rightarrow y^{\prime}>0
$$

$$
{[-1,3] \Rightarrow y^{\prime}<0}
$$

因此:

原函数的单调递增区间为:

$$
(-\infty,-1] \cup [3,+\infty)
$$

原函数的单调递减区间为:

$$
[-1,1) \cup (1,3]
$$

又:

$$
x=-1 \Rightarrow y^{\prime \prime}=\frac{2}{(-2)^{3}}=\frac{-1}{4}<0
$$

因此,原函数的极大值为:

$$
f(-1)=\frac{16}{4 \times(-2)}=-2
$$

接着:

$$
x=3 \Rightarrow y^{\prime \prime}=\frac{2}{2^{3}}=\frac{1}{4}>0
$$

因此,原函数的极小值为:

$$
f(3)=0
$$

Tips:

由此可看出,一个函数的极大值并不一定会比其极小值大。

又由 $y^{\prime \prime}$ 的表达式可知:

$$
x>1 \Rightarrow y^{\prime \prime}>0
$$

因此,$(1,+\infty)$ 是原函数的凹区间。

又:

$$
x<1 \Rightarrow y^{\prime \prime}<0
$$

因此,$(-\infty, 1)$ 是原函数的凸区间。


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