挖掘题目隐含条件的利器：配方法

一、前言

在考研数学中，有些题目可以使用配方法对原式进行恒等变形，从而挖掘出解题的隐含条件——用好配方法，可以大大加快解题速度。

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将用简单有效的表述阐述清楚什么是配方法，以及如何使用配方法。

难度评级：

二、解析

什么是“配方法”？

配方法就是将一个式子或者某个式子的一部分（可能包括有理式和超越式）用恒等变形的方式转化为一个完全平方式或多个完全平方式的组合的方法。

简单的说，所谓的“配方”就是“配出来平方式”，而这里的平方式就是形如 $(a+b)^{2}$ $=$ $a^{2}+2 a b+b^{2}$ 和 $(a-b)^{2}$ $=$ $a^{2}-2 a b+b^{2}$ 这样的一个或者多个式子的组合。

“配方法”的作用是什么？

通过转换式子形式的方法，寻找式子中存在的隐含条件。

“配方法”的操作步骤是什么？

以 $x^{x} + bx$ 为例：

$x^{2}$ 可以看作是一个边长为 $x$ 的正方形的面积，$bx$ 可以看作是一个边长为 $x$, 另一个边长为 $b$ 的长方形的面积，那么，只要我们保证，这两个矩形的面积之和不变（也就是“恒等”），就可以对他们进行任意的裁剪拼接——如图 01 所示：

根据上图，我们可以将一个正方形和一个长方形的面积之和，转变为两个正方形的面积之差：

$$
x^{2} + bx =
$$

$$
(x + \frac{b}{2})^{2} – (\frac{b}{2})^{2}.
$$

这样一来，$(x + \frac{b}{2})^{2}$ 和 $(\frac{b}{2})^{2}$ 就分别是两个平方式，也就完成了我们这里的“配方”了。

实例一

用配方法对 $x(1-x)$ 进行变形。

$$
x(1-x)=x-x^{2}=-\left(x^{2}-x\right)=
$$

$$
-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right]=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}.
$$

实例二

用配方法求解 $2 x^{2}+6 x+6=4$ 的值。

$$
2 x^{2}+6 x+6=4 \Rightarrow
$$

$$
x^{2}+3 x+3=2 \Rightarrow
$$

$$
x^{2}+3 x=-1 \Rightarrow
$$

$$
\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+1 = 0 \Rightarrow
$$

$$
\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4} \Rightarrow
$$

$$
x+\frac{3}{2}= \pm \sqrt{\frac{5}{4}} \Rightarrow
$$

$$
x=\frac{ \pm \sqrt{5}}{2}-\frac{3}{2}.
$$

补充概念

1. 有理式：对于数字和字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方（如 $a$ 的 $n$ 次方：$a^{n}$）这些运算所得到的式子就被称为有理式，包含分式和整式。例如 $\frac{a-b}{a+b}$, $\frac{1}{2xy}$, $123$ 都是有理式；
2. 无理式：含有开方运算的为无理式。例如 $\sqrt{(x-1)^{2}} + 1$, $\sqrt{x} – 3y$ 都是无理式；
3. 超越式：不能通过有限次加、减、乘、除、正整数次乘方、开方、有理数次乘方运算的得到的式子就是超越式——超越式一般式通过无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算得到的式子。
4. 完全平方式：形如 $(a+b)^{2}$ $=$ $a^{2}+2 a b+b^{2}$ 和 $(a-b)^{2}$ $=$ $a^{2}-2 a b+b^{2}$ 的式子都是完全平方式。

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