线性代数抽象矩阵（块矩阵）运算规则（性质）汇总

二、正文

1. $A$ 和 $B$ 为 $n$ 阶方阵；
2. $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 为矩阵 $A$ 或 $B$ 的 $n$ 个特征值；
3. $\lambda$ 和 $\mu$ 为任意实数；

$$\begin{array}{l} \left|\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}A & O \\ C & B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}A & C \\ O & B\end{array}\right|=|A||B| \\ \\ \left|\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} O & A \\ B & C\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}C & A \\ B & O \end{array}\right|=(-1)^{m n}|A||B| \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} |A^{\top}|=|A| \\ \\ |\lambda A|=\lambda^{n}|A| \\ \\ |A B|=|B A|=|A||B| \\ \\ \left|A^{k}\right|=|A|^{k} \\ \\ \left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|} \quad \text{ （假设矩阵 } A \text{ 可逆）} \\ \\ \left|A^{*}\right|=|A|^{n-1} \quad (n \geqslant 2) \\ \\ |A|=\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n} \\ \\ A \text{ 与 } B \text{ 相似 } \Rightarrow |A|=|B| \\ \\ \text{ 一般情况下：} |A+B| \neq |A|+|B| \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} 对称矩阵 \Rightarrow A^{\top}=A \Rightarrow a_{ij} = a_{ji} \\ \\ 反对称矩阵 \Rightarrow A^{\top}=-A \Rightarrow a_{ij} = -a_{ji}, a_{ii} = 0 \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} A+B=B+A \\ \\ (A+B)+C=A+(B+C) \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} (\lambda \mu) A=\lambda(\mu A) \\ \\ (\lambda+\mu) A=\lambda A+\mu A \\ \\ \lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} A_{m \times n} B_{n \times s} = C_{m \times s} \\ \\ (A B) C=A(B C) \\ \\ (A+B) C=A C+B C \\ \\ C(A+B)=C A+C B \\ \\ E A=A E=A \\ \\ \text{ 一般地：} A B \neq B A \\ \\ \text{当 } A \neq O \text { 时：} AB=AC \nRightarrow B = C \\ \\ A B=O \nRightarrow A = O \\ \\ A B=O \nRightarrow B = O \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} A^{3} = A \cdot A \cdot A \\ \\ A^{k} A^{l}=A^{k+l} \\ \\ (A^{k})^{l}=A^{k l} \\ \\ \text{一般情况下：} (AB)^{k} \neq A^{k} B^{k} \\ \\ A^{1} \cdot A^{1} = A^{1 + 1} = A^{2} \\ \\ (A^{1})^{1} = A^{1 \times 1} = A^{1} = A \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} (A^{\top})^{\top}=A \\ \\ (A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top} \\ \\ (\lambda A)^{\top}=\lambda A^{\top} \\ \\ (A B)^{\top}=B^{\top} A^{\top} \text{（脱衣法则）} \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} |A^{*}|=\Big| | A |\cdot A^{-1} \Big| = |A|^{n} \cdot \frac{1}{|A|}=|A|^{n-1} \quad (n \geqslant 2) \\ \\ A A^{*}=A^{*} A=|A| E \\ \\ (k A)^{*}=k^{n-1} A^{*} \quad (n \geqslant 2) \\ \\ (A B)^{*}=B^{*} A^{*} \\ \\ \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}=\frac{1}{|A|} A \\ \\ \left(A^{*}\right)^{\top}=\left(A^{\top}\right)^{*} \\ \\ \left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A \quad (n \geqslant 3) \\ \\ \text{一般情况下 } \Rightarrow (A+B)^{*} \neq A^{*}+B^{*} \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} A^{-1}=B \Rightarrow A B=E \\ \\ (A^{-1})^{-1}=A \\ \\ (k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1} \\ \\ (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} \\ \\ (A^{\top})^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\top} \\ \\ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} \\ \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*} \\ \\ \text{一般情况下：} (A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1} \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} \begin{bmatrix} A & O \\ O & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} O & A \\ B & O \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} A & C \\ O & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{bmatrix} \\ \\ \begin{bmatrix} A & O \\ C & B \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1} C A^{-1} & B^{-1} \end{bmatrix} \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} 0 \leqslant \mathbf{r} (A_{m \times n}) \leqslant \mathbf{min} (m, n) \\ \\ \mathbf{r} (A) = \mathbf{r} (A^{\top}) = \mathbf{r} (A A^{\top}) = \mathbf{r} (k A^{\top}) \quad (k \neq 0) \\ \\ \mathbf{r} (A + B) \leqslant \mathbf{r} (A) + \mathbf{r} (B) \Rightarrow \text{ 单独加比一起加大 } \\ \\ \mathbf{max} \{ \mathbf{r}(A), \mathbf{r} (B) \} \leqslant \mathbf{r} (A, B) \leqslant \mathbf{r} (A) + \mathbf{r} (B) \Rightarrow \text{ 单独加比合并加大 } \\ \\ \mathbf{r} (AB) \leqslant \mathbf{min} \{ \mathbf{r} (A), \mathbf{r} (B) \} \Rightarrow \text{ 越乘越小 } \\ \\ \text{若 } A \text{ 可逆，即 } \mathbf{r} (A) = n, \text{ 则 } \mathbf{r}(AB) = \mathbf{r} (B), \ \mathbf{r} (BA) = \mathbf{r} (B) \\ \\ \text{若 } A \text{ 的列数为 } n \text{ 且 } A_{m \times n} B_{n \times s} = O_{m \times s}, \text{ 则 } \mathbf{r} (A) + \mathbf{r} (B) \leqslant n \\ \\ 若 A 为 n 阶方阵，且 n \geqslant 2, 则 \mathbf{r}(A^{*}) = \begin{cases} n, & \mathbf{r} (A) = n \\ 1, & \mathbf{r} (A) = n-1 \\ 0, & \mathbf{r} (A) < n – 1 \end{cases} \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} \text{ 反身性：} A \cong A \\ \\ \text{ 对称性：} A \cong B, \quad B \cong A \\ \\ \text{ 传递性：} A \cong B, \quad B \cong C, \quad A \cong C \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$

$$\begin{array}{l} A + kE \text{ 的特征值为：} \lambda, \text{ 特征向量为：} \alpha \\ \\ kA \text{ 的特征值为：} k \lambda, \text{ 特征向量为：} \alpha \\ \\ A^{k} \text{ 的特征值为：} \lambda^{k}, \text{ 特征向量为：} \alpha \\ \\ f(A) \text{ 的特征值为：} f(\lambda), \text{ 特征向量为：} \alpha \\ \\ A^{-1} \text{ 的特征值为：} \lambda^{-1}, \text{ 特征向量为：} \alpha \\ \\ A^{*} \text{ 的特征值为：} |A| \lambda^{-1}, \text{ 特征向量为：} \alpha \\ \\ A^{\top} \text{ 的特征值为：} \lambda, \text{ 特征向量不确定} \\ \\ P^{-1} A P \text{ 的特征值为：} \lambda, \text{ 特征向量为：} P^{-1} \alpha \\ \\ zhaokaifeng.com \end{array}$$