线性代数抽象矩阵（块矩阵）运算规则（性质）汇总

一、前言

抽象矩阵是线性代数中的学习和研究中一种很重要的范畴。在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将针对考研数学线性代数中抽象矩阵的运算规律和性质做一个汇总与分析。

二、正文

已知：

1. $A$ 和 $B$ 为 $n$ 阶方阵；
2. $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 为矩阵 $A$ 或 $B$ 的 $n$ 个特征值；
3. $\lambda$ 和 $\mu$ 为任意实数；

※ 若 $A$ 是 $m$ 阶方阵，$B$ 是 $n$ 阶方阵，则：

$$
\begin{array}{l}
\left|\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}A & O \\ C & B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}A & C \\ O & B\end{array}\right|=|A||B| \\ \\
\left|\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} O & A \\ B & C\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}C & A \\ B & O \end{array}\right|=(-1)^{m n}|A||B| \\ \\
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\end{array}
$$

※ $n$ 阶方阵的常用计算性质：

$$
\begin{array}{l}
|A^{\top}|=|A| \\ \\
|\lambda A|=\lambda^{n}|A| \\ \\
|A B|=|B A|=|A||B| \\ \\
\left|A^{k}\right|=|A|^{k} \\ \\
\left|A^{-1}\right|=\frac{1}{|A|} \quad \text{ （假设矩阵 } A \text{ 可逆）} \\ \\
\left|A^{*}\right|=|A|^{n-1} \quad (n \geqslant 2) \\ \\
|A|=\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n} \\ \\
A \text{ 与 } B \text{ 相似 } \Rightarrow |A|=|B| \\ \\
\text{ 一般情况下：} |A+B| \neq |A|+|B| \\ \\
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\end{array}
$$

※ 对称矩阵和反对称矩阵：

$$
\begin{array}{l}
对称矩阵 \Rightarrow A^{\top}=A \Rightarrow a_{ij} = a_{ji} \\ \\
反对称矩阵 \Rightarrow A^{\top}=-A \Rightarrow a_{ij} = -a_{ji}, a_{ii} = 0 \\ \\
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\end{array}
$$

※ 矩阵的加法运算规律：

$$
\begin{array}{l}
A+B=B+A \\ \\
(A+B)+C=A+(B+C) \\ \\
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\end{array}
$$

※ 矩阵的数乘运算规律：

$$
\begin{array}{l}
(\lambda \mu) A=\lambda(\mu A) \\ \\
(\lambda+\mu) A=\lambda A+\mu A \\ \\
\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B \\ \\
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\end{array}
$$

※ 矩阵的乘法运算规律：

$$
\begin{array}{l}
A_{m \times n} B_{n \times s} = C_{m \times s} \\ \\
(A B) C=A(B C) \\ \\
(A+B) C=A C+B C \\ \\
C(A+B)=C A+C B \\ \\
E A=A E=A \\ \\
\text{ 一般地：} A B \neq B A \\ \\
\text{当 } A \neq O \text { 时：} AB=AC \nRightarrow B = C \\ \\
A B=O \nRightarrow A = O \\ \\
A B=O \nRightarrow B = O \\ \\
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\end{array}
$$

※ 方阵的幂运算规律：

$$
\begin{array}{l}
A^{3} = A \cdot A \cdot A \\ \\
A^{k} A^{l}=A^{k+l} \\ \\
(A^{k})^{l}=A^{k l} \\ \\
\text{一般情况下：} (AB)^{k} \neq A^{k} B^{k} \\ \\
A^{1} \cdot A^{1} = A^{1 + 1} = A^{2} \\ \\
(A^{1})^{1} = A^{1 \times 1} = A^{1} = A \\ \\
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\end{array}
$$

※ 矩阵的转置运算规律：

$$
\begin{array}{l}
(A^{\top})^{\top}=A \\ \\
(A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top} \\ \\
(\lambda A)^{\top}=\lambda A^{\top} \\ \\
(A B)^{\top}=B^{\top} A^{\top} \text{（脱衣法则）} \\ \\
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\end{array}
$$

※ 伴随矩阵的性质：

$$
\begin{array}{l}
|A^{*}|=\Big| | A |\cdot A^{-1} \Big| = |A|^{n} \cdot \frac{1}{|A|}=|A|^{n-1} \quad (n \geqslant 2) \\ \\
A A^{*}=A^{*} A=|A| E \\ \\
(k A)^{*}=k^{n-1} A^{*} \quad (n \geqslant 2) \\ \\
(A B)^{*}=B^{*} A^{*} \\ \\
\left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}=\frac{1}{|A|} A \\ \\
\left(A^{*}\right)^{\top}=\left(A^{\top}\right)^{*} \\ \\
\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A \quad (n \geqslant 3) \\ \\
\text{一般情况下 } \Rightarrow (A+B)^{*} \neq A^{*}+B^{*} \\ \\
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\end{array}
$$

※ 逆矩阵的性质：

$$
\begin{array}{l}
A^{-1}=B \Rightarrow A B=E \\ \\
(A^{-1})^{-1}=A \\ \\
(k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1} \\ \\
(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} \\ \\
(A^{\top})^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\top} \\ \\
|A^{-1}|=\frac{1}{|A|} \\ \\
A^{-1}=\frac{1}{|A|} A^{*} \\ \\
\text{一般情况下：} (A+B)^{-1} \neq A^{-1} + B^{-1} \\ \\
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\end{array}
$$

※ 分块矩阵的求逆运算：

$$
\begin{array}{l}
\begin{bmatrix}
A & O \\
O & B
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}
A^{-1} & O \\
O & B^{-1}
\end{bmatrix} \\ \\
\begin{bmatrix}
O & A \\
B & O
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}
O & B^{-1} \\
A^{-1} & O
\end{bmatrix} \\ \\
\begin{bmatrix}
A & C \\
O & B
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}
A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \\
O & B^{-1}
\end{bmatrix} \\ \\
\begin{bmatrix}
A & O \\
C & B
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}
A^{-1} & O \\
-B^{-1} C A^{-1} & B^{-1}
\end{bmatrix} \\ \\
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\end{array}
$$

※ 秩的常用结论：

$$
\begin{array}{l}
0 \leqslant \mathbf{r} (A_{m \times n}) \leqslant \mathbf{min} (m, n) \\ \\
\mathbf{r} (A) = \mathbf{r} (A^{\top}) = \mathbf{r} (A A^{\top}) = \mathbf{r} (k A^{\top}) \quad (k \neq 0) \\ \\
\mathbf{r} (A + B) \leqslant \mathbf{r} (A) + \mathbf{r} (B) \Rightarrow \text{ 单独加比一起加大 } \\ \\
\mathbf{max} \{ \mathbf{r}(A), \mathbf{r} (B) \} \leqslant \mathbf{r} (A, B) \leqslant \mathbf{r} (A) + \mathbf{r} (B) \Rightarrow \text{ 单独加比合并加大 } \\ \\
\mathbf{r} (AB) \leqslant \mathbf{min} \{ \mathbf{r} (A), \mathbf{r} (B) \} \Rightarrow \text{ 越乘越小 } \\ \\
\text{若 } A \text{ 可逆，即 } \mathbf{r} (A) = n, \text{ 则 } \mathbf{r}(AB) = \mathbf{r} (B), \ \mathbf{r} (BA) = \mathbf{r} (B) \\ \\
\text{若 } A \text{ 的列数为 } n \text{ 且 } A_{m \times n} B_{n \times s} = O_{m \times s}, \text{ 则 } \mathbf{r} (A) + \mathbf{r} (B) \leqslant n \\ \\
若 A 为 n 阶方阵，且 n \geqslant 2, 则 \mathbf{r}(A^{*}) = \begin{cases}
n, & \mathbf{r} (A) = n \\
1, & \mathbf{r} (A) = n-1 \\
0, & \mathbf{r} (A) < n – 1
\end{cases} \\ \\
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\end{array}
$$

※ 等价矩阵的性质：

$$
\begin{array}{l}
\text{ 反身性：} A \cong A \\ \\
\text{ 对称性：} A \cong B, \quad B \cong A \\ \\
\text{ 传递性：} A \cong B, \quad B \cong C, \quad A \cong C \\ \\
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\end{array}
$$

※ 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$, 特征向量为 $\alpha$, 则：

$$
\begin{array}{l}
A + kE \text{ 的特征值为：} \lambda, \text{ 特征向量为：} \alpha \\ \\
kA \text{ 的特征值为：} k \lambda, \text{ 特征向量为：} \alpha \\ \\
A^{k} \text{ 的特征值为：} \lambda^{k}, \text{ 特征向量为：} \alpha \\ \\
f(A) \text{ 的特征值为：} f(\lambda), \text{ 特征向量为：} \alpha \\ \\
A^{-1} \text{ 的特征值为：} \lambda^{-1}, \text{ 特征向量为：} \alpha \\ \\
A^{*} \text{ 的特征值为：} |A| \lambda^{-1}, \text{ 特征向量为：} \alpha \\ \\
A^{\top} \text{ 的特征值为：} \lambda, \text{ 特征向量不确定} \\ \\
P^{-1} A P \text{ 的特征值为：} \lambda, \text{ 特征向量为：} P^{-1} \alpha \\ \\
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\end{array}
$$

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