求解二元隐函数的极值

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,隐函数 $z=z(x, y)>0$ 由方程式 $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $-$ $2 x$ $-$ $2 y$ $-$ $4 z$ $-$ $10$ $=$ $0$ 所确定,则 $z=z(x, y)$ 的极值是多少?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

如果题目是一个填空或者选择题,并且明确说了让我们求解一个函数的极值,那么这个函数的极值一定是存在的,直接找到极值并确定是极大值还是极小值即可,不需要再求证极值是否存在:

$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-4 z-10=0 \Rightarrow
$$

分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导:

$$
2 x+2 z \cdot z_{x}^{\prime}-2-4 z_{x}^{\prime}=0 \quad ①
$$

$$
2 y+2 z \cdot z^{\prime} _{y} -2-4 z^{\prime} _{y} = 0 \quad ②
$$

接着:

$$
\left\{\begin{array}{l}z_{x}^{\prime}=0 \\ z^{\prime} _{y} = 0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2 x-2=0 \\ 2 y-2=0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.\right.\right.
$$

当 $x = 1$, $y = 1$ 时:

$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-4 z-10=0 \Rightarrow
$$

$$
1+1+z^{2}-2-2-4 z-10=0 \Rightarrow
$$

$$
z^{2}-4 z-12=0 \Rightarrow
$$

$$
z=\frac{4 \pm \sqrt{16+48}}{2} \Rightarrow
$$

$$
z=\frac{4 \pm 8}{2} \Rightarrow
$$

$$
z>0 \Rightarrow z=\frac{8+4}{2}=6.
$$

基于 $①$ 式继续对 $x$ 求偏导:

$$
2+2 z_{x}^{\prime} \cdot z_{x}^{\prime}+2 z \cdot z_{x x}^{\prime \prime}-4 z_{x x}^{\prime \prime}=0
$$

将 $z = 6$, $z_{x}^{\prime} = 0$ 代入上式:

$$
2+(12-4) z_{x x}^{\prime \prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
A=z_{x x}^{\prime \prime}=\frac{-2}{8}=\frac{-1}{4}<0
$$

于是,$(1, 1)$ 是函数 $z(x, y)$ 的最小值点,最小值为:

$$
z(1, 1) = 6.
$$

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当然,如果需要判断一下该函数的极值是否存在,则有:

基于 $①$ 式对 $y$ 求偏导:

$$
2 z_{y}^{\prime} \cdot z_{x}^{\prime}+2 z \cdot z_{x y}^{\prime \prime}-4 z_{x y}^{\prime \prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
z_{x}^{\prime}=0, z_{y}^{\prime}=0, z=6 \Rightarrow
$$

$$
B = z_{x y}^{\prime \prime}=0.
$$

基于 $②$ 式对 $y$ 求偏导:

$$
2+2 z^{\prime} _{y} \cdot z_{y}^{\prime}+2 z \cdot z_{y y}^{\prime \prime}-4 z_{y y}^{\prime \prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
z_{y}^{\prime}=0, z=6 \Rightarrow
$$

$$
2+8 z_{y y}^{\prime \prime}=0 \Rightarrow
$$

$$
C=z_{y y}^{\prime \prime}=\frac{-1}{4}
$$

进而:

$$
A C-B^{2}=\left(\frac{-1}{4}\right)\left(\frac{-1}{4}\right)-0>0
$$

因此,点 $(1, 1)$ 是函数 $z$ 的一个极值点。


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