乘积的极限存在，因子的极限不一定也都存在

一、题目

二、解析

»A« 和 »B« 选项

首先，由 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{1–\cos x}$ $=$ $-16$, 且 $\underset{x\to 0}{lim}1–\cos x$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{2}{x}^2$ $=$ $0$ 可知，式子 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{1–\cos x}$ 是一个 $\frac{0}{0}$ 型的定式，于是：

$$\underset{x\to 0}{lim}f(x)=0$$

又由于“ 函 数 在 连 续 点 处 的 极 限 值 ，就 是 在 该 点 处 的 函 数 值 ”，且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，所以：

$$f(0)=0$$

接着，根据「荒原之梦考研数学」的《关于 $0/0$ 和 $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$ 型极限的正负性》这篇文章，以及极限的局部保号性可知：

由于 $-16<0$ 且 $\underset{x\to 0}{lim}1–\cos x$ $=$ $\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{2}{x}^2$ $\to$ $0^{+}$, 所以，式子 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{1–\cos x}$ 是一个 $\frac{0^{-}}{0^{+}}=-K$ 型的定式，于是：

存在 $x=0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(0)$, 当 $x\in \mathring{U}(0)$ 时，$f(x)<0=f(0)$.

因此，当 $x\in \mathring{U}(0)$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值。

综上，»A« 选项 正 确 ，»B« 选项 错 误 。

»C« 和 »D« 选项

在判断一点 $x=0$ 处的导数是否存在的时候，我们需要判断左导数 $f_{-}^{\prime }(0)$ 和右导数 $f_{+}^{\prime }(0)$ 的极限是否存在且相等：

$$\begin{array}{rl}& f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\\ \\ & f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\end{array}$$

虽然，根据题目我们知道下面这个式子的极限存在：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{1–\cos x}=-16$$

同时，下面的等式成立：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{1–\cos x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\cdot \frac{x}{1–\cos x}=-16$$

但是，乘积 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\cdot \frac{x}{1–\cos x}$ 在 $x\to 0$ 时的极限存在，并不意味着乘积的因子 $\frac{f(x)–f(0)}{x–0}$ 和 $\frac{x}{1–\cos x}$ 在 $x\to 0$ 时的极限也存在，即“ 乘 积 的 极 限 存 在 ，因 子 的 极 限 不 一 定 也 都 存 在 ”。

所以，我们无法判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的可导性，更无法判断导数 $f^{\prime }(0)$ 是否等于 $0$.

综上，»C« 选项和 »D« 选项 错 误 。

---