2024年考研数二第01题解析：第一类间断点、分段函数的分段点，无定义点

一、题目

函数 $f(x)$ $=$ $|x{|}^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是 ( $$ )

难度评级：

二、解析

首先，间断点一定是无定义的点。因此，根据分母不能等于零，可得：

$$\{\begin{array}{l}1–x\ne 0\\ x–2\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne 2\end{array}$$

此外，间断点还经常出现在分段函数的分段点，由于函数 $f(x)$ 可以分为 $x>0$, $x<0$ 和 $x=0$ 三个取值区间，因此，分段点 $x=0$ 也可能是函数 $f(x)$ 的间断点。

于是可知，函数 $f(x)$ 的可能的第一类间断点为：

$$1,2,0$$

接着：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 1}{lim}|x{|}^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}\\ & =\underset{x\to 1}{lim}(1+x–1{)}^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}\\ & =\underset{x\to 1}{lim}(1+x–1{)}^{\frac{1}{x-1}\cdot \frac{x-1}{1}\cdot \frac{1}{(1-x)(x-2)}}\\ & =\underset{x\to 1}{lim}{e}^{\frac{x-1}{(1-x)(x-2)}}\\ & =\underset{x\to 1}{lim}{e}^{\frac{-1}{x-2}}\\ & =e^{\frac{-1}{-1}}\\ & =e\end{array}$$

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 2^{-}}{lim}|x{|}^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}\\ & =\underset{x\to 2^{-}}{lim}{x}^{\frac{1}{-1\cdot 0^{-}}}\\ & =2^{\frac{1}{0^{+}}}\\ & =2^{+\mathrm{\infty }}\\ & =+\mathrm{\infty }\end{array}$$

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0^{+}}{lim}|x{|}^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}\\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^{\frac{1}{-2}}\\ & =0^{\frac{-1}{2}}\\ & =\frac{1}{0^{\frac{1}{2}}}\\ & =\frac{1}{0^{+}}\\ & =+\mathrm{\infty }\end{array}$$

注意：
$0^0$ $=$ $0$, $2^0$ $=$ $1$

综上可知，由于只有一点处左右两侧极限都存在的间断点才是第一类间断点，因此，函数 $f(x)$ 只有 $x=1$ 这一个间断点，本题正确选项为：C.

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