2024年考研数二第01题解析：第一类间断点、分段函数的分段点，无定义点

一、题目

函数 $f(x)$ $=$ $|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是 ( $\quad$ )

难度评级：

二、解析

首先，间断点一定是无定义的点。因此，根据分母不能等于零，可得：

$$
\begin{cases}
1 – x \neq 0 \\
x – 2 \neq 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x \neq 1 \\
x \neq 2
\end{cases}
$$

此外，间断点还经常出现在分段函数的分段点，由于函数 $f(x)$ 可以分为 $x > 0$, $x < 0$ 和 $x = 0$ 三个取值区间，因此，分段点 $x = 0$ 也可能是函数 $f(x)$ 的间断点。

于是可知，函数 $f(x)$ 的可能的第一类间断点为：

$$
1, \ 2, \ 0
$$

接着：

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 1}|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 1}(1 + x – 1)^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 1}(1 + x – 1)^{\frac{1}{x-1} \cdot \frac{x-1}{1} \cdot \frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 1}e^{\frac{x-1}{(1-x)(x-2)}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 1}e^{\frac{-1}{x-2}} \\
& = e^{\frac{-1}{-1}} \\
& = e
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}}|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 2^{-}}x^{\frac{1}{-1 \cdot 0^{-}}} \\
& = 2^{\frac{1}{0^{+}}} \\
& = 2^{+\infty} \\
& = +\infty
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}} \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}x^{\frac{1}{-2}} \\
& = 0^{\frac{-1}{2}} \\
& = \frac{1}{0^{\frac{1}{2}}} \\
& = \frac{1}{0^{+}} \\
& = +\infty
\end{aligned}
$$

注意：
$0^{0}$ $=$ $0$, $2^{0}$ $=$ $1$

综上可知，由于只有一点处左右两侧极限都存在的间断点才是第一类间断点，因此，函数 $f(x)$ 只有 $x = 1$ 这一个间断点，本题正确选项为：C.

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