函数间断点，要么是无定义的点（分母为零），要么是分段函数的分段点

一、题目

已知函数：

$$
f(x)=\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x-2)}
$$

则该函数的第二类间断点的个数为 ( $\quad$ )

难度评级：

二、解析

显然，当 $x=-1$, $x=0$, $x=1$, $x=2$ 时，函数 $f(x)$ 无定义，因此，函数 $f(x)$ 的全部间断点为：

$$
\begin{cases}
x=-1 \\
x=0 \\
x=1 \\
x=2
\end{cases}
$$

接下来，我们要对上面的间断点逐一进行分析，看其是否为第二类间断点。

当 $x = -1$ 时

由于：

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow-1} f(x) \\ \\
& = \frac{e^{\frac{-1}{2} \cdot \ln 0}}{-3(e^{-1} – 1)} \\ \\
& = \frac{e^{\frac{-1}{2} \cdot (- \infty)}}{-3(e^{-1} – 1)} \\ \\
& = -\infty
\end{aligned}
$$

因此，$x=-1$ 为函数 $f(x)$ 的第二类间断点。

当 $x = 0$ 时

由于：

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}}{x-2} \cdot \frac{\ln (1+x)}{\mathrm{e}^{x}-1} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}}{x-2} \cdot 1 \\ \\
& = \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{0-1}}}{0-2} \\ \\
& = \frac{1}{e} \cdot \frac{-1}{2} \\ \\
& = -\frac{1}{2 \mathrm{e}}
\end{aligned}
$$

因此 $x=0$ 为函数 $f(x)$ 的第一类可去间断点。

当 $x = 1$ 时

由于：

$$
\begin{aligned}
f(1^{+}) \\ \\
& = \frac{e^{+ \infty} \cdot \ln 2}{1 – e} \\ \\
& = + \infty
\end{aligned}
$$

因此，$x=1$ 为函数 $f(x)$ 的第二类间断点。

当 $x = 2$ 时

由于：

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 2} f(x) \\ \\
& = \frac{e \ln 3}{(e^{3} – 1) \cdot 0} \\ \\
& = \frac{e \ln 3}{0} \\ \\
& = \infty
\end{aligned}
$$

因此，$x=2$ 为函数 $f(x)$ 的第二类间断点。

综上可知，函数 $f(x)$ 的第二类间断点有 $3$ 个。

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