连续函数的三点相等定律：连续点及连续点左右两侧的函数值相等

一、题目

已知函数 $f(x)$ $=$ $\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{ax},& x>0,\\ b,& x⩽0\end{array}$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $ab=?$

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二、解析

首先，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 右侧的函数值为：

$$f(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{ax}=\frac{1}{2a}$$

当 $x\to 0$ 的时候，有：
$1–\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

因此：
$1–\cos \sqrt{x}\sim \frac{1}{2}(\sqrt{x}{)}^2$

关于 $\cos$ 的更多等价无穷小性质，可以查阅笔记《等价无穷小公式的一个补充扩展：关于三角函数 cos》

接着，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 右左侧和 $x=0$ 处的函数值为：

$$f(0)=f(0^{-})=b$$

由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 所以：

$$f(0^{+})=f(0)=f(0^{-})$$

即：

$$\frac{1}{2a}=\frac{b}{1}\Rightarrow 2ab=1$$

综上可知：

$$ab=\frac{1}{2}$$

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