连续函数的三点相等定律：连续点及连续点左右两侧的函数值相等

一、题目

已知函数 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0, \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a b = ?$

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二、解析

首先，函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 右侧的函数值为：

$$
f(0^{+})=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}=\frac{1}{2 a}
$$

当 $x \rightarrow 0$ 的时候，有：
$1 – \cos x \sim \frac{1}{2} x^{2}$

因此：
$1 – \cos \sqrt{x} \sim \frac{1}{2} (\sqrt{x})^{2}$

关于 $\cos$ 的更多等价无穷小性质，可以查阅笔记《等价无穷小公式的一个补充扩展：关于三角函数 cos》

接着，函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 右左侧和 $x = 0$ 处的函数值为：

$$
f(0)=f(0^{-})=b
$$

由于 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 所以：

$$
f(0^{+}) = f(0) = f(0^{-})
$$

即：

$$
\frac{1}{2a} = \frac{b}{1} \Rightarrow 2ab = 1
$$

综上可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
a b=\frac{1}{2}
}
$$

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