复杂幂指函数求导不要用“$\mathrm{e}$ 抬起”，而要用“$\ln$ 落下”

一、题目

$f(x)$ $=$ $x^x(1-x{)}^{1-x}$ 在区间 $x\in (0,1)$ 内的最小值为 ( $$ )

难度评级：

二、解析

本题要求最值，因此，首先想到要求导。但是，直接对原式进行求导过于复杂，因此，先用同时取对数的方式进行形式上的转换与化简：

$$f(x)=x^x(1-x{)}^{1-x}\Rightarrow$$

$$\text{ 两边同时取对数 }\Rightarrow$$

$$\ln f(x)=\ln [x^x\cdot (1-x{)}^{1-x}]\Rightarrow$$

$$\ln f(x)=\ln x^x+\ln (1-x{)}^{1-x}\Rightarrow$$

$$\ln f(x)=x\ln x+(1-x)\ln (1-x)\Rightarrow$$

$$\text{ 两边同时求导 }\Rightarrow$$

$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\ln x+\frac{x}{x}-\ln (1-x)-\frac{1-x}{1-x}\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\ln x-\ln (1-x)\end{array}$$

接着，令 $f^{\prime }(x)=0$, 则：

$$\begin{array}{r}\ln x-\ln (1-x)=0\\ & \Rightarrow \ln x=\ln (1-x)\\ & \Rightarrow x=1-x\\ & \Rightarrow 2x=1\\ & \Rightarrow x=\frac{1}{2}\end{array}$$

接下来，我们开始判断上边得到的 $x=\frac{1}{2}$ 是否为函数 $f(x)$ 的最小值点。

首先，由 $(1)$ 式，可知：

$$\begin{array}{r}\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\\ & =\ln x-\ln (1-x)\\ & =\ln \frac{x}{1-x}\end{array}$$

当 $x\in (0,\frac{1}{2})$ 时：

由于幂函数的函数图像都在 $Y$ 轴正半轴，因此：

$$f(x)=x^x(1-x{)}^{1-x}>0$$

且，当 $x\in (0,\frac{1}{2})$ 时：

$$\frac{x}{1-x}<1\Rightarrow \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}<0$$

因此：

$$f^{\prime }(x)<0$$

类似的，当 $x\in (\frac{1}{2},1)$ 时：

$$f(x)=x^x(1-x{)}^{1-x}>0$$

$$\frac{x}{1-x}>1\Rightarrow \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$$

因此：

$$f^{\prime }(x)>0$$

综上可知，$x=\frac{1}{2}$ 对应于函数 $f(x)$ 的最小值点，且最小值为：

$$f\left(\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$$

---