复杂幂指函数求导不要用“e 抬起”,而要用“ln 落下”

一、题目题目 - 荒原之梦

f(x) = xx(1x)1x 在区间 x(0,1) 内的最小值为 ( )

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

本题要求最值,因此,首先想到要求导。但是,直接对原式进行求导过于复杂,因此,先用同时取对数的方式进行形式上的转换与化简:

f(x)=xx(1x)1x

 两边同时取对数 

lnf(x)=ln[xx(1x)1x]

lnf(x)=lnxx+ln(1x)1x

lnf(x)=xlnx+(1x)ln(1x)

 两边同时求导 

f(x)f(x)=lnx+xxln(1x)1x1x

(1)f(x)f(x)=lnxln(1x)

接着,令 f(x)=0, 则:

lnxln(1x)=0lnx=ln(1x)x=1x2x=1x=12

接下来,我们开始判断上边得到的 x=12 是否为函数 f(x) 的最小值点。

首先,由 (1) 式,可知:

f(x)f(x)=lnxln(1x)=lnx1x

x(0,12) 时:

由于幂函数的函数图像都在 Y 轴正半轴,因此:

f(x)=xx(1x)1x>0

且,当 x(0,12) 时:

x1x<1f(x)f(x)<0

因此:

f(x)<0

类似的,当 x(12,1) 时:

f(x)=xx(1x)1x>0

x1x>1f(x)f(x)

因此:

f(x)>0

综上可知,x=12 对应于函数 f(x) 的最小值点,且最小值为:

f(12)=(12)12(12)12=12


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