一、题目
具有特解 $y_{1}$ $=$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{2}$ $=$ $2 x$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}$ $=$ $3 \mathrm{e}^x$ 的三阶常系数线性齐次方程为（ ）
二、解析 
根据线性微分方程的解与特征方程和特征根三者之间的关系，由特解 $y_{1}$ $=$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{2}$ $=$ $2 x$ $\mathrm{e}^{-x}$, $y_{3}$ $=$ $3 \mathrm{e}^x$, 我们可以得知，该三阶常系数线性齐次方程具有以下特征根：
$$
\left\{\begin{matrix}
\lambda_{1} = -1 & \\
\lambda_{2} = -1 & \\
\lambda_{3} = 1 &
\end{matrix}\right.
$$
Next 
进而我们可以得出如下特征方程：
$$
(\lambda + 1)^{2} (\lambda – 1) = 0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda^{2} + 1 + 2 \lambda)(\lambda – 1) = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda^{3} – \lambda^{2} + \lambda – 1 + 2 \lambda^{2} – 2 \lambda = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda^{3} + \lambda^{2} – \lambda – 1 = 0.
$$
Next
从而，我们就可以得出该三阶常系数线性齐次方程：
$$
\lambda^{3} + \lambda^{2} – \lambda – 1 = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda^{3} + \lambda^{2} – \lambda^{1} – \lambda^{0} = 0 \Rightarrow
$$
$$
y^{(3)} + y^{(2)} – y^{(1)} – y^{(0)} = 0 \Rightarrow
$$
$$
y^{\prime \prime \prime} + y^{\prime \prime} – y^{\prime} – y = 0
$$
注意：正确结果不是 $y^{\prime \prime \prime}$ $+$ $y^{\prime \prime}$ $-$ $y^{\prime}$ $-$ $1$ $=$ $0$.