做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势

一、题目

Note

关于思维定势的分析，可以查阅荒原之梦考研数学的原创文章：《思维定势：让我们既爱又恨》

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难度评级：

二、解析

首先，本题给出了一些导数的值，并且有经常会用到求导运算的变限积分，且要求导的式子是一个分式，因此，本题很可能需要使用洛必达法则，通过不断的求导运算来求解。

但是，根据荒原之梦考研数学在《有关变限积分求导的几种形式》这篇文章中所作的总结，直接对题目中这种形式的变限积分求导是不行的，而是首先需要对函数 “$f(x – t)$” 中的自变量 “$x – t$” 做一个整体替换，使得函数自变量和积分变量相同，但和积分上下限不同。

于是，令：

$$
k = x – t
$$

则有：

$$
\begin{cases}
t = x – k \\
\mathrm{~d} t = – \mathrm{~d} k \\
x \in ( 0 , x ) \Rightarrow k \in ( x , 0 )
\end{cases}
$$

之后我们就可以对原式 $I$ 进行变形和求导了。

此外，还需要注意的一点时，在“变形”的过程中，要始终记得，积分上下限中的 $x$ 要看作常数，积分变量 $k$ 要看作变量；之后，进行求导的时候，原本的 $x$ 要看作变量，基本变量 $k$ 要看作常数。

Tip

需要注意的是，虽然，当 $t$ $=$ $x$ $-$ $k$ 时，有 $x$ $=$ $t$ $+$ $k$, 但是，我们不要把原式基本上下限 $\int_{0}^{\textcolor{springgreen}{x}}$ 中的 $\textcolor{springgreen}{x}$ 用 $t$ $+$ $k$ 替换，因为这就引入了变量，而积分上下限此时要被看作是“常数”。

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Tip

同理，原式分母 $\textcolor{springgreen}{x} \int _ { 0 } ^ { x } f ( x – t ) \mathrm { d } t$ 中的 $\textcolor{springgreen}{x}$ 也要看成常数，不能用 $t$ $+$ $k$ 替换。

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在下面的计算中，需要看成常数的 $\textcolor{springgreen}{x}$ 用春绿色表示，不需要看成常数的 $\textcolor{orangered}{x}$ 用橘红色表示：

$$
\begin{aligned}
I \\
& = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { \textcolor{springgreen}{x} } t f ( \textcolor{orangered}{x} – t ) \mathrm { d } t } { \textcolor{springgreen}{x} \int _ { 0 } ^ { \textcolor{springgreen}{x} } f ( \textcolor{orangered}{x} – t ) \mathrm { d } t } \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{- \int_{\textcolor{springgreen}{x}}^{0} (\textcolor{orangered}{x} – k) f(k) \mathrm{~d} k}{ – \textcolor{springgreen}{x} \int_{\textcolor{orangered}{x}}^{0} f(k) \mathrm{~d} k} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{\textcolor{springgreen}{x}} [ \textcolor{springgreen}{x}f(k) – kf(k) ] \mathrm{~d} k }{\textcolor{springgreen}{x} \int_{0}^{\textcolor{springgreen}{x}} f(k) \mathrm{~d} k} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \textcolor{springgreen}{x} \int_{0}^{\textcolor{springgreen}{x}} f(k) \mathrm{~d} k – \int_{0}^{\textcolor{springgreen}{x}} k f(k) \mathrm{~d} k }{\textcolor{springgreen}{x} \int_{0}^{\textcolor{springgreen}{x}} f(k) \mathrm{~d} k}
\end{aligned}
$$

接着，由于当 $x \rightarrow 0$ 的时候，上面的式子符合 $\frac{0}{0}$ 不定式的形式，因此，我们开始尝试对上面的式子使用洛必达运算，对其分子和分母分别进行多次的求导——

此时，式子中 $x$ 就需要被看作变量（求导变量）处理了：

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& \frac{0}{0} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~d} k + xf(x) – xf(x)}{\int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~d} k + xf(x)} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~d} k}{\int_{0}^{x} f(k) \mathrm{~d} k + xf(x)} \\ \\
& \frac{0}{0} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{f(x) + f(x) + xf^{\prime} (x)} \\ \\
& \frac{0}{0} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{f^{\prime}(x) + f^{\prime}(x) + f^{\prime}(x) + x f^{\prime \prime}(x) } \\ \\
& \frac{0}{0} \Rightarrow \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime \prime}(x) + f^{\prime \prime}(x) + f^{\prime \prime} (x) + f^{\prime \prime}(x) + x \textcolor{red}{\boldsymbol{f^{\prime \prime \prime}(x)}} } \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime \prime}(x) + f^{\prime \prime}(x) + f^{\prime \prime} (x) + f^{\prime \prime}(x)} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{4f^{\prime \prime}(x)} \\ \\
& = \frac{1}{4}
\end{aligned}
$$

Important

虽然题目中没说函数 $f(x)$ 三阶可导，也就是说，我们不知道 $\textcolor{red}{\boldsymbol{f^{\prime \prime \prime}(x)}}$ 是否存在，但由于当 $x \rightarrow 0$ 的时候，一定有 $x \textcolor{red}{\boldsymbol{f^{\prime \prime \prime}(x)}}$ $=$ $0$, 所以，即便上面的计算步骤中出现了三阶导函数 $\textcolor{red}{\boldsymbol{f^{\prime \prime \prime}(x)}}$, 整个运算也是符合逻辑的。

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