混合偏导数与次序无关的前提是:混合偏导数连续

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

第 (1) 问

根据全微分的定义,以及题目已知条件 $\mathrm{d} u$ $=$ $y\left[\mathrm{e}^{x}+\right.$ $\left.f^{\prime}(x)\right] \mathrm{~d} x$ $+$ $f^{\prime}(x) \mathrm{~d} y$, 我们可知:

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial x} & = y\left[\mathrm{e}^x+f^{\prime}(x)\right] \\ \\
& \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\mathrm{e}^x+f^{\prime}(x)
\end{aligned}
$$

且:

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial y} & = f^{\prime}(x) \\ \\
& \Rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = f^{\prime \prime}(x)
\end{aligned}
$$

又由题目可知,函数 $f(x)$ 有二阶连续导数, 那么,由于 $f(x)$ 二阶可导,因此,其一阶导数也一定连续。即,下面的函数都是连续的:

$$
\begin{cases}
f^{\prime \prime}(x) \\
f^{\prime}(x)
\end{cases}
$$

又由前面的计算可知,函数 $u(x, y)$ 的二阶偏导数其实是由 $f^{\prime}(x)$, $f^{\prime \prime}(x)$ 以及基本函数 $e^{x}$ 组成的:

$$
\begin{cases}
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} & = \mathrm{e}^x+f^{\prime}(x) \\ \\
\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} & = f^{\prime \prime}(x)
\end{cases}
$$

即:

$$
\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x}
$$

进而可知:

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(x) + \mathrm{e}^x = f^{\prime \prime}(x) \\
& \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)-f^{\prime}(x) = e^x
\end{aligned}
$$

于是,接下来的问题就是,只要我们解出来微分方程 $f^{\prime \prime}(x)$ $-$ $f^{\prime}(x)$ $=$ $e^x$, 就可以得出函数 $f(x)$ 的表达式。

又由题目可知:

$$
f(0)=f^{\prime}(0)=1
$$

因此:

$$
\begin{cases}
C_1=1 \\
C_2=0
\end{cases}
$$

所以:

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
f(x) = x e^{x} + 1
}
}
$$

第 (2) 问

由第 (1) 问可知:

$$
f(x) = x e^{x} + 1
$$

求导得:

$$
f^{\prime}(x)=e^{x} (x+1)
$$

若令:

$$
f^{\prime}(x) = 0
$$

则可得驻点:

$$
x=-1
$$

继续求得二阶导为:

$$
f^{\prime \prime}(x)=e^x(x+2)
$$

且可得:

$$
f^{\prime \prime}(-1)=e^{-1} > 0
$$

于是可知,$f(-1)$ $=$ $1-\mathrm{e}^{-1}$ 为极小值, 函数 $f(x)$ 无极大值。

且:

*当 $x$ $<$ $-1$ 时, $f^{\prime}(x)$ $=$ $e^{x} (x+1)$ $<0$;

**当 $x$ $>$ $-1$ 时, $f^{\prime}(x)$ $=$ $e^{x} (x+1)$ $>0$, 故 $(-\infty,-1)$ 为单调递减区间, $(-1,+\infty)$ 为单调递增区间 荒原之梦考研数学 | 本文结束


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