要求导的时候不要用“e 抬起”，而要用“ln 落下”

一、题目

$f(x)$ $=$ $x^{x}(1-x)^{1-x}$ 在区间 $x \in (0,1)$ 内的最小值为 ( $\quad$ )

难度评级：

二、解析

本题要求最值，因此，首先想到要求导。但是，直接对原式进行求导过于复杂，因此，先用同时取对数的方式进行形式上的转换与化简：

$$
f(x)=x^{x}(1-x)^{1-x} \Rightarrow
$$

$$
\text{ 两边同时取对数 } \Rightarrow
$$

$$
\ln f(x)=\ln \left[x^{x} \cdot(1-x)^{1-x}\right] \Rightarrow
$$

$$
\ln f(x)=\ln x^{x}+\ln (1-x)^{1-x} \Rightarrow
$$

$$
\ln f(x)=x \ln x+(1-x) \ln (1-x) \Rightarrow
$$

$$
\text{ 两边同时求导 } \Rightarrow
$$

$$
\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\ln x+\frac{x}{x}-\ln (1-x)-\frac{1-x}{1-x} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \ln x-\ln (1-x) } \tag{1}
$$

接着，令 $f^{\prime}(x)=0$, 则：

$$
\begin{aligned}
\ln x-\ln (1-x)=0 \\
& \Rightarrow \ln x=\ln (1-x) \\
& \Rightarrow x=1-x \\
& \Rightarrow 2 x=1 \\
& \Rightarrow x=\frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

接下来，我们开始判断上边得到的 $x = \frac{1}{2}$ 是否为函数 $f(x)$ 的最小值点。

首先，由 $(1)$ 式，可知：

$$
\begin{aligned}
\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \\
& = \ln x-\ln (1-x) \\
& = \ln \frac{x}{1-x}
\end{aligned}
$$

当 $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ 时：

由于幂函数的函数图像都在 $Y$ 轴正半轴，因此：

$$
f(x)=x^{x}(1-x)^{1-x}>0
$$

且，当 $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ 时：

$$
\frac{x}{1-x}<1 \Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} < 0
$$

因此：

$$
\textcolor{springgreen}{
f^{\prime}(x)<0
}
$$

类似的，当 $x \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 时：

$$
f(x)=x^{x}(1-x)^{1-x}>0
$$

$$
\frac{x}{1-x}>1 \Rightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}
$$

因此：

$$
\textcolor{springgreen}{
f^{\prime}(x)>0
}
$$

综上可知，$x = \frac{1}{2}$ 对应于函数 $f(x)$ 的最小值点，且最小值为：

$$
\textcolor{springgreen}{
f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}
}
$$

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