一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知 $f(x)$ 可导, $f(0)=2$, 且 $f^{\prime}(x)$ $<$ $2 f(x)$, 则下列结论正确的是哪个 ( $\quad$ )
A. $f(-1)>2$
C. $f(1)>2 \mathrm{e}^{2}$
B. $f(-1)<\frac{2}{\mathrm{e}^{2}}$
D. $f(1)<2 \mathrm{e}^{2}$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
由题可知:
$$
f^{\prime}(x)<2 f(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)-2 f(x)<0
$$
本题要求判断大小,据此我们可以想到可能会用到函数的增减性,也就是一阶导的正负性。
那么,如果我们要用 $f^{\prime}(x)-2 f(x)$ 构造函数,什么样的函数求导会产生类似 $f^{\prime}(x)-2 f(x)$ 这样的一个 $1$ 阶导一个 $0$ 阶导的情况呢?答案就是对含有 $e^{x}$ 的函数进行求导,例如:
$$
\left[e^{x} f(x)\right]^{\prime} = e^{x}\left[ \textcolor{orangered}{f^{\prime}(x)} + \textcolor{springgreen}{f(x)} \right]
$$
进而:
$$
\left[e^{-2 x} f(x)\right]^{\prime}=e^{-2 x}\left[ \textcolor{orangered}{f^{\prime}(x)} \textcolor{springgreen}{- 2 f(x)} \right]
$$
于是,可以构造如下函数:
$$
\varphi(x)=e^{-2 x} f(x)
$$
接着:
$$
\varphi^{\prime}(x)=e^{-2 x}\left[f^{\prime}(x)-2 f(x)\right]
$$
又因为:
$$
\begin{cases}
e^{-2 x}>0 \\
f^{\prime}(x)-2 f(x)<0
\end{cases}
$$
于是:
$$
\varphi^{\prime}(x)<0
$$
又因为:
$$
-1 \textcolor{springgreen}{<} 0 \textcolor{springgreen}{<} 1 \Rightarrow
$$
$$
\varphi(-1) \textcolor{orangered}{>} \varphi(0) \textcolor{orangered}{>} \varphi(1)
$$
又:
$$
\varphi(0)=1 \times f(0)=1 \times 2=2
$$
于是:
$$
\varphi(-1)>2>\varphi(1) \Rightarrow
$$
$$
e^{2} f(-1)>2>e^{-2} f(1)
$$
从而:
$$
\begin{cases}
\textcolor{springgreen}{f(-1)>\frac{2}{e^{2}}} \\
f(1)<\frac{2}{e^{-2}} \Rightarrow \textcolor{springgreen}{f(1) < 2 e^{2} }
\end{cases}
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。