构造函数的技巧:什么样的式子求导可能会产生 1 阶导和 0 阶导?

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)$ 可导, $f(0)=2$, 且 $f^{\prime}(x)$ $<$ $2 f(x)$, 则下列结论正确的是哪个 ( $\quad$ )

A. $f(-1)>2$

C. $f(1)>2 \mathrm{e}^{2}$

B. $f(-1)<\frac{2}{\mathrm{e}^{2}}$

D. $f(1)<2 \mathrm{e}^{2}$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

由题可知:

$$
f^{\prime}(x)<2 f(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)-2 f(x)<0
$$

本题要求判断大小,据此我们可以想到可能会用到函数的增减性,也就是一阶导的正负性。

那么,如果我们要用 $f^{\prime}(x)-2 f(x)$ 构造函数,什么样的函数求导会产生类似 $f^{\prime}(x)-2 f(x)$ 这样的一个 $1$ 阶导一个 $0$ 阶导的情况呢?答案就是对含有 $e^{x}$ 的函数进行求导,例如:

$$
\left[e^{x} f(x)\right]^{\prime} = e^{x}\left[ \textcolor{orangered}{f^{\prime}(x)} + \textcolor{springgreen}{f(x)} \right]
$$

进而:

$$
\left[e^{-2 x} f(x)\right]^{\prime}=e^{-2 x}\left[ \textcolor{orangered}{f^{\prime}(x)} \textcolor{springgreen}{- 2 f(x)} \right]
$$

于是,可以构造如下函数:

$$
\varphi(x)=e^{-2 x} f(x)
$$

接着:

$$
\varphi^{\prime}(x)=e^{-2 x}\left[f^{\prime}(x)-2 f(x)\right]
$$

又因为:

$$
\begin{cases}
e^{-2 x}>0 \\
f^{\prime}(x)-2 f(x)<0
\end{cases}
$$

于是:

$$
\varphi^{\prime}(x)<0
$$

又因为:

$$
-1 \textcolor{springgreen}{<} 0 \textcolor{springgreen}{<} 1 \Rightarrow
$$

$$
\varphi(-1) \textcolor{orangered}{>} \varphi(0) \textcolor{orangered}{>} \varphi(1)
$$

又:

$$
\varphi(0)=1 \times f(0)=1 \times 2=2
$$

于是:

$$
\varphi(-1)>2>\varphi(1) \Rightarrow
$$

$$
e^{2} f(-1)>2>e^{-2} f(1)
$$

从而:

$$
\begin{cases}
\textcolor{springgreen}{f(-1)>\frac{2}{e^{2}}} \\
f(1)<\frac{2}{e^{-2}} \Rightarrow \textcolor{springgreen}{f(1) < 2 e^{2} }
\end{cases}
$$


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