无穷小量计算的技巧：抛砖引玉式解法

一、题目

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\tan x \cdot\left[\int_{0}^{x} e^{-(x-t)^{2}} \mathrm{~d} t-x\right]} = ?
$$

难度评级：

二、解析

首先对分子中的积分进行处理，使之可以被求导：

令 $u=x-t$, 则：

$$
\begin{cases}
t=x-u \\
\mathrm{d} t=-\mathrm{~d} u \\
t \in(0, x) \Rightarrow u \in(x, 0)
\end{cases}
$$

于是：

$$
\int_{0}^{x} e^{-(x-t)^{2}} \mathrm{~d} t=-\int_{x}^{0} e^{-u^{2}} \mathrm{~d} u=\int_{0}^{x} e^{-u^{2}} \mathrm{~d} u
$$

接着，对 $\int_{0}^{x} e^{-u^{2}} \mathrm{~d} u – x$ 求导可知，求导之后的 $\int_{0}^{x} e^{-u^{2}} \mathrm{~d} u – x$ 是一个 $2$ 阶无穷小，因此，没有求导的 $\int_{0}^{x} e^{-u^{2}} \mathrm{~d} u – x$ 应该是和 $x^{3}$ 同阶的无穷小。

于是，我们可以令 $x^{3}$ 为“砖”，通过“抛砖引玉”的方式引出来 $\int_{0}^{x} e^{-u^{2}} \mathrm{~d} u – x$ 对应的等价无穷小这块“玉”：

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} e^{-(x-t)^{2}} \mathrm{~d} t-x}{x^{3}} & = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} e^{-u^{2}} \mathrm{~d} u-x}{x^{3}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{-x^{2}}-1}{3 x^{2}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-x^{2}}{3 x^{2}} = \textcolor{orangered}{ \frac{-1}{3} }
\end{aligned}
$$

于是，当 $x \rightarrow 0$ 时：

$$
\tan x \cdot\left[\int_{0}^{x} e^{-(x-t)^{2}} \mathrm{~d} t-x\right] \sim \frac{-1}{3} x^{4}
$$

上面是对分母的处理，接下来我们开始处理分子。

通过对分子 $\cos (\sin x)-\cos x$ 形式的观察可知，我们可以将该式子看作是函数 $f(t)=\cos t$ 在 $t$ 取 $x$ 和 $\sin x$ 这两个不同的值的时候相减得到的。因此，令：

$$
f(t)=\cos t
$$

则：

$$
f^{\prime}(t)=-\sin t
$$

于是，根据中值定理可知：

$$
\begin{aligned}
\cos (\sin x)-\cos x & = f(\sin x)-f(x) \\
& = f^{\prime}(\xi)(\sin x-x)
\end{aligned}
$$

其中，$\xi \in (x, \sin x)$

并且，由于 $\xi \in (x, \sin x)$, 因此，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$$
\sin \xi \sim x \sim \sin x
$$

综上：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{I} & = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(\xi)(\sin x-x)}{\frac{-1}{3} x^{4}} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-\sin \xi(\sin x-x)}{\frac{-1}{3} x^{4}} \\ \\
& = 3 \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^{3}} \\ \\
& = 3 \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-1}{6} x^{3}}{x^{3}} = \textcolor{springgreen}{ \frac{-1}{2} }
\end{aligned}
$$

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