构造函数的技巧：什么样的式子求导可能会产生 1 阶导和 0 阶导？

一、题目

已知 $f (x)$ 可导, $f (0) = 2$ , 且 $f^{'} (x)$ $<$ $2 f (x)$ , 则下列结论正确的是哪个 ( )

A. $f (- 1) > 2$

C. $f (1) > 2 e^{2}$

B. $f (- 1) < \frac{2}{e^{2}}$

D. $f (1) < 2 e^{2}$

难度评级：

由题可知：

$f^{'} (x) < 2 f (x) \Rightarrow f^{'} (x) - 2 f (x) < 0$

本题要求判断大小，据此我们可以想到可能会用到函数的增减性，也就是一阶导的正负性。

那么，如果我们要用 $f^{'} (x) - 2 f (x)$ 构造函数，什么样的函数求导会产生类似 $f^{'} (x) - 2 f (x)$ 这样的一个 $1$ 阶导一个 $0$ 阶导的情况呢？答案就是对含有 $e^{x}$ 的函数进行求导，例如：

${[e^{x} f (x)]}^{'} = e^{x} [f^{'} (x) + f (x)]$

进而：

${[e^{- 2 x} f (x)]}^{'} = e^{- 2 x} [f^{'} (x) - 2 f (x)]$

于是，可以构造如下函数：

$φ (x) = e^{- 2 x} f (x)$

接着：

$φ^{'} (x) = e^{- 2 x} [f^{'} (x) - 2 f (x)]$

又因为：

${\begin{cases} e^{- 2 x} > 0 \\ f^{'} (x) - 2 f (x) < 0 \end{cases}$

于是：

$φ^{'} (x) < 0$

又因为：

$- 1 < 0 < 1 \Rightarrow$

$φ (- 1) > φ (0) > φ (1)$

又：

$φ (0) = 1 \times f (0) = 1 \times 2 = 2$

于是：

$φ (- 1) > 2 > φ (1) \Rightarrow$

$e^{2} f (- 1) > 2 > e^{- 2} f (1)$

从而：

${\begin{cases} f (- 1) > \frac{2}{e^{2}} \\ f (1) < \frac{2}{e^{- 2}} \Rightarrow f (1) < 2 e^{2} \end{cases}$

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。

让考场上没有难做的数学题！