导数不存在不一定没有切线：导数不能以极限的形式存在，但是切线可以以极限的形式存在

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{x}, & x \geqslant 0 \\ \sqrt{-x}, & x<0\end{array}\right.$, 则：

(A) $f(x)$ 在 $x=0$ 不连续

(B) $f^{\prime}(0)$ 存在

(C) $f^{\prime}(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 不存在切线

(D) $f^{\prime}(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 有切线

难度评级：

二、解析

已知，$f(0)=0$, 则：

$$
f^{\prime}\left(0^{-}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}-0}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}} \rightarrow+\infty
$$

$$
f^{\prime}\left(0^{-}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{-x}-0}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-1}{\sqrt{-x}} \rightarrow-\infty
$$

于是可知，$f^{\prime}(0)$ 不存在。

但是，$f(x)$ 的函数图像如图 01 所示，有图像可知，其在 $x = 0$ 处存在切线：

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