导数不存在不一定没有切线：导数不能以极限的形式存在，但是切线可以以极限的形式存在

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cl}\sqrt{x},& x⩾0\\ \sqrt{-x},& x<0\end{array}$, 则：

(A) $f(x)$ 在 $x=0$ 不连续

(B) $f^{\prime }(0)$ 存在

(C) $f^{\prime }(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 不存在切线

(D) $f^{\prime }(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 有切线

难度评级：

二、解析

已知，$f(0)=0$, 则：

$$f^{\prime }\left(0^{-}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x}-0}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x}}\to +\mathrm{\infty }$$

$$f^{\prime }\left(0^{-}\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\sqrt{-x}-0}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-1}{\sqrt{-x}}\to -\mathrm{\infty }$$

于是可知，$f^{\prime }(0)$ 不存在。

但是，$f(x)$ 的函数图像如图 01 所示，有图像可知，其在 $x=0$ 处存在切线：

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