2017 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

一、题目

若函数

f(x) = {1cosxax,x>0b,x0

x = 0 处连续,则()

( A ) ab = 12

( B ) ab = 12

( C ) ab = 0

( D ) ab = 2

二、解析

这道题可以根据函数连续的定义解出。

函数 f(x) 在某一点 x0 处连续的定义如下:

limxx0 = limxx0+ = f(x0)

因此,若函数 f(x)x = 0 处连续,则根据定义的话,我们需要证明:

limx0 = limx0+ = f(0)

观察题目可知,这是一个分段函数,且当 x (,0] 时,f(x) = b. 于是,当 x 从左边趋近于 0 时,f(0) = b.

x 从右边趋近于 0 时,适用的取值范围为 x > 0, 而对应的函数值为:

limx0+ f(x) = limx0+ 1cosxax

根据如下的等价无穷小原则:

1 cosx 12x2

于是有:

原式 = limx0+ 12(x)2ax = 12a

为了满足上面提到的函数在一点处连续的定义,需要有:

12a = b

化简形式得:

ab = 12

由此可知,选 A.

EOF


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