当二重积分的积分区域中含有 x 的平方和 y 的平方时就可以考虑使用极坐标系了

题目

设积分区域 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x+y \leqslant 2, x \geqslant 0, y \geqslant 0 \}$, 则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{d} \sigma}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$

解析

首先确定积分区域：

$$
x+y \geqslant 1 \Rightarrow y \geqslant-x+1
$$

$$
x+y \leqslant 2 \Rightarrow y \leqslant-x+2
$$

转为极坐标系：

$$
\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array} \quad\right. \Rightarrow
$$

$$
\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)
$$

又：

$$
x+y \geqslant 1 \Rightarrow
$$

$$
r \cos \theta+r \sin \theta \geqslant 1 \Rightarrow r(\cos \theta+\sin \theta) \geqslant 1 \Rightarrow
$$

$$
r \geqslant \frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}
$$

同理：

$$
x+y \leqslant 2 \Rightarrow r \leqslant \frac{2}{\cos \theta+\sin \theta}
$$

于是：

$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~ d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{\frac{2}{\cos \theta+\sin \theta}} \mathrm{~ d} r \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos \theta+\sin \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow t=\tan \frac{\theta}{2} } \tag{1}
$$

令：

$$
\frac{\theta}{2}=\arctan t
$$

则：

$$
\mathrm{~ d} \theta=\frac{2}{1+t^{2}} \mathrm{~ d} t
$$

关于 $$ 和 $$ 的计算可以参考这篇文章或者这篇文章。

$$
\sin \theta=\frac{2 t}{1+t^{2}}
$$

$$
\cos \theta=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}
$$

$$
\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \quad t \in(0,1)
$$

于是：

$$
I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos \theta+\sin \theta} \mathrm{~ d} \theta =
$$

$$
\int_{0}^{1} \frac{1 + t^{2}}{2 t+1-t^{2}} \cdot \frac{2}{1+t^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\int_{0}^{1} \frac{2}{2 t+1-t^{2}} \mathrm{~ d} t = \frac{1}{2-(t-1)^{2}} \mathrm{~ d} t
$$

又：

$$
u=t-1 \Rightarrow t \in(0,1), u \in(-1,0)
$$

于是：

$$
I=\int_{-1}^{0} \frac{2}{2-u^{2}} \mathrm{~ d} u=\int_{-1}^{0} \frac{2}{(\sqrt{2}+u)(\sqrt{2}-u)} \mathrm{~ d} u=
$$

$$
\frac{1}{\sqrt{2}} \int_{-1}^{0}\left(\frac{1}{\sqrt{2}+u}+\frac{1}{\sqrt{2}-u}\right) \mathrm{~ d} u=
$$

$$
\left.\frac{1}{\sqrt{2}}[\ln (\sqrt{2}+u)-\ln (\sqrt{2}-u)]\right|_{-1} ^{0}=
$$

$$
\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2} + u}{\sqrt{2} – u} \right|_{-1} ^{0}=
$$

$$
\frac{1}{\sqrt{2}} \left[\ln 1-\ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right]=\frac{-1}{\sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}
$$

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